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高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学(一)第二十七讲广义积分主讲:岑利群第五节广义积分一、无穷区间上的积分二、瑕积分我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分.在科学技术和工程中,往往需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分,有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广.我们将运用极限的方法来完成这个工作.——无穷区间上的广义积分.),[)(上有定义在设函数axf.)],[()(,,记且AaRxfaARA,d)(limd)(AaAaxxfxxf.),[)(上的无穷积分在称之为axf限值称此无穷积分收敛,极若式中的极限存在,则该无穷积中的极限不存在,则称即为无穷积分值;若式.分发散1.无穷积分的概念一、无穷积分类似地可定义:.)(d)(limd)()1(bBxxfxxfbBBbd)(d)(d)()2(ccxxfxxfxxf.d)(limd)(limAcAcBBxxfxxf.d)(d)(d)(收敛则称同时收敛,与若xxfxxfxxfcc.d)(,d)(d)(发散则至少有一个发散与若xxfxxfxxfccd)(的可加性,而言,由定积分对区间对xxf.0.cc为方便起见,通常取值无关与显然其收敛性例1解.d02xexx计算AxAxxexxex00dlimd222xu令20d21limAuAue20)(21limAuAe)2121(lim2AAe.21能否将这里的书写方式简化?)()(的一个原函数,则约定是为书写方便起见,若xfxF.)()(lim)(d)(0aFxFxFxxfxa.)(lim)()(d)(xFbFxFxxfxbb.)(lim)(lim)(d)(xFxFxFxxfxx这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.例2解.1d02xx计算002arctan1dxxx0arctanarctanlimxx.2例3解.1d2xx计算arctan1d2xxxarctanlimarctanlimxxxx)2(2.Oxy211xy1例4解.d102xxx计算0202)1ln(21d1xxxx0)1ln(21lim2xx,.d102发散故积分xxx例5解.dcos0xx计算00sindcosxxx,0sinsinlimxx.dcossinlim0发散不存在,故原积分由于xxxx例5解)0(d的敛散性,-积分讨论axxPap.为任意常数其中P:1时当P||lndaaxxxaxxln||lnlim,.1积分发散时,故Pp:1时当Papapxxx1d1.1,1,1,1ppapp发散收敛综上所述,.11时发散时收敛;当积分当ppP)0(daxxPap-积分2.无穷积分的基本运算性质均存在,则设以下所有出现的积分.d)(d)(d)()2(Rcxxfxxfxxfccaa.d)(d)(d)]()([)3(aaaxxgxxfxxgxf.d)()()()(d)()()4(aaaxxvxuxvxuxxvxu.)5(分的换元法进行计算无穷积分也可按照定积.d)(d)()1(aaxxfxxf.d)(d)(,)()(),[)6(aaxxgxxfxgxfa则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此.例6解.dln12xxx计算运用分部积分法xln21xx1x112112d1lndlnxxxxxxx01limlnlimxxxxx罗12dxx11x.1例7解.)0()(d22/322aaxxa计算,23:,2:,sec故时则令taxtaxtandtansec)(d2/3/3322/322tatttaaxxa2/3/22sindcost1ttasin11/2/32ta.3322a)(原积分收敛例8解.1d04xx计算dd12,,则令ttxtx,故时,且0:0:tx042042041d)11(1d1dttttttxx04042d11d11ttttt,d11d111040222xxtttt022204,d111211dttttxx故,d)11(d,12ttuttu则令,,:0:从而,时且ut2042d211duuxx2arctan2121u.222221213.无穷积分敛散性的判别法:,定义式写成下面的形式我们可以将无穷积分的实际上;d)(limd)(xaxattfxxf.d)(limd)(bxxbttfxxf.函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理.0)(,)),[()(xfaCxf且设函数),[d)()(attfxFxa在若积分上限函数.d)(,收敛则无穷积分上有上界axxf证,,0)(,)),[()(所以且因为xfaCxf.),[)(上单调增加在积分上限函数axF,),[)(从而上有上界在又已知函数axFd)()(xattfxF.),[由极限存在准则上单调增加且有上界在a.d)(lim)(limx存在可知极限xaxttfxF.d)(收敛即无穷积分axxf定理(比较判别法),,,),[)(,)(aARAaxgxf上有界在设函数0)()(,xfxg.d)(d)()1(也收敛收敛时,积分当则aaxxfxxg.d)(d)()2(也发散发散时,积分当aaxxgxxf,)],[()(),(且满足AaRxgxf证)()(0,得时由xgxfxad)()1(,则下列极限存在收敛若积分axxg,d)(d)(0xaxattgttf,积分上限函数从而.),[d)()(上有上界在attgxGxa,),[d)()(上有上界在attfxFxa.d)(收敛故积分axxf.d)(limIttfxax,故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极.)2(运用反证法,d)(,d)(收敛积分发散时如果aaxxgxxf.d)(:)1(收敛立即可得出矛盾则由axxf..,之一积分是重要的比较标准敛散性的重要方法穷积分比较判别法也是判别无与级数的情形类似P例9解.1d134的敛散性判别无穷积分xx由于111103/43434xxx,d113413/4故收敛积分的而xxPp.1d134收敛无穷积分xx读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.1.瑕积分的概念——无界函数的广义积分(1)瑕点的概念为内无界,则称点在,若函数),(Uˆ)(000xxxf.)(的一个瑕点函数xf1)(的一个瑕点;是例如:axxfax.)1ln()(12的瑕点是xxgx.1)(22的瑕点是axxhax二、瑕积分(2)瑕积分的概念.,],()(为其瑕点上有定义在设axbaxf,)],[()(,0记若baRxf,d)(limd)(0babaxxfxxf.],[)(上的瑕积分在称之为函数baxf,,极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在.,;则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值.d)(limd)(0babaxxfxxf类似地,可定义,)1(为瑕点时当bx,)()2(为瑕点时当bcacxbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(,)(limd)(lim00bccadxxfxxf.d)(,d)(d)(才收敛同时收敛时与仅当babccaxxfxxfxxf.d)(,d)(d)(发散至少有一个发散时与babccaxxfxxfxxf与无穷积分的情形类似,瑕积分也有下列运算形式:.)(,)(lim)()(d)(为瑕点axxFbFxFxxfaxbaba.)(,)()(lim)(d)(为瑕点bxaFxFxFxxfbxbaba这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了..),(,)(lim)(lim)(d)(为瑕点bxaxaFxFxFxxfaxbxbaba2.瑕积分基本运算性质,叙述为唯一瑕点的情形进行以下均以积分下限ax.形仍成立其结论对其它瑕点的情均存在,则设以下所有出现的积分.d)(d)(d)()2(Rcxxfxxfxxfbccaba.d)(d)(d)]()([)3(bababaxxgxxfxxgxf.d)()()()(d)()()4(bababaxxvxuxvxuxxvxu.)5(的换元法进行计算瑕积分也可按照定积分.d)(d)()1(abbaxxfxxf.d)(d)(,)()(],()6(babaxxgxxfxgxfba则上若在例15解102.1dxx计算,,11lim21所以因为xx.11)(12的瑕点为函数xxfx10102arcsin1dxxx0arcsinarcsinlim1xx.2例16解.d112xx计算.21d11112xxx!0为瑕点x例16解.d112xx计算.1)(0,,1lim220的瑕点为所以因为xxfxxx102012112dddxxxxxx,1lim11d010102xxxxx而.d112是发散的故积分xx例17解212.1dxx计算.1为瑕点x,dtansecd,sectttxtx则令,,30:,21:于是时且tx3021tandtansec1dttttxx30dsectt.)32(ln|tansec|ln30tt例18解.)2(d0xxx计算.,应设分开混合在一起的广义积分这是无穷积分与瑕积分,2,0,故为被积函数的瑕点易知xx)2(d)()2(d0220xxxxxxd12121)(220xxx2ln2ln21220xxxx不存在,d12121d12121220发散与由于xxxxxx.)2(d0发散故原积分xxx例19解)(.)(d)(为任意常数的敛散性瑕积分讨论paxxPbap.,,0)1(故是收敛的积分为通常的定积分时当Pp,,,0)2(此时为瑕点时当axp.,||lnd,1积分发散则若Paxaxxpbaba,1则若p.1,101)()(11)(d11发收pppabaxpaxxpbapbap综上所述,得;)(d)(,1收敛瑕积分时当bapaxxPp
本文标题:-广义积分
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