第2章 对偶理论和灵敏度分析-第4节-清华大学运筹学第三版课件

运筹学（第三版）《运筹学》教材编写组编写清华大学出版社第2章对偶理论和灵敏度分析第4节线性规划的对偶理论钱颂迪制作第2章对偶理论和灵敏度分析第4节线性规划的对偶理论•从理论上讨论线性规划的对偶问题4.1原问题与对偶理论•原问题（LP）：02112121112112211nmnmnmmnnnx,,x,xbbxxxaaaaaaxcxcxczmax•对偶问题(DP)02121211121121m2211nnmnmmnmmy,,y,yc,,c,caaaaaay,,y,ybybybymin标准型原问题与对偶问题的关系mincccbaaaybaaaybaaayxxxyxmnmmnmmmnnnijmaxzmaxzmin21212222212111211121对偶关系原关系例2根据表2-3写出原问题与对偶问题的表达式。•表2-3xyx1x2x2y1111y2222y3888c444标准形式的变换关系为对称形式原问题（LP）对偶问题(DP)032240124164821216832321312121212132121y,y,yyyyyx,xxxxxyyyminxxzmax非对称形式的变换关系•原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下步骤处理。•设等式约束条件的线性规划问题n,,,j,xm,,i,bxaxczmaxjnjijijnjjj2102111第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。njjijnjjijnjjijjnjijijnjjjm,,,ibxam,,,jbxam,,,jbxan,,,j,xm,,i,bxaxczmax1111114221211322121021第二步：按对称形式变换关系可写出它的对偶问题•设yi′是对应(2-13)式的对偶变量yi″是对应(2-14)式的对偶变量。•这里i=1,2,…，mm,,i,y,yn,,j,cyayaybybmin''i'imijmi''iij'iijmimi''ii'ii210211111将上述规划问题的各式整理后得到02111''i'i''i'iimij''i'iijmi''i'iiy,y,yyyn,,,j,cyyayybmin令m,..iyn,,,j,cyaybminimijiijmiii212111，为无约束综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系，其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。RHSRHS0000mn00nminzmax约束条件的目标函数变量系数目标函数变量的系数约束条件量变无约束个个件条束约件条束约个无约束个量变目标函数目标函数对偶问题原问题m例3试求下述线性规划原问题的对偶问题无约束43213432243114321432100362422153532x,x,x,xyxxxyxxxyxxxxxxxxzmin则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题，无约束3213213213121321001523322645y,y,yyyyyyyyyyyyyyzmax'4.2对偶问题的基本性质•(1)对称性对偶问题的对偶是原问题;•(2)弱对偶性若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存在CX≤Yb;•(3)无界性若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解;•(4)可行解是最优解时的性质;•(5)对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等;•(6)互补松弛性;•(7)原问题检验数与对偶问题解的关系.(1)对称性对偶问题的对偶是原问题•证设原问题是maxz=CX;AX≤b；X≥0•根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是minω=Yb;YA≥C；Y≥0•若将上式两边取负号，又因minω=max(-ω)可得到max(-ω)=-Yb;-YA≤-C；Y≥0•根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是min(-ω′)=-CX；-AX≥-b;X≥0•又因min(-ω′)=maxω′•可得maxω′=maxz=CX；AX≤b;X≥0•这就是原问题。证毕。(2)弱对偶性bYXCYX则存在是对偶问题的可行解是原问题的可行解，若证明：..0证毕于是得到得到右乘上式将所以满足是对偶问题的可行解，因原问题的对偶问题是左乘上式，得到将是对偶问题的可行解，若即以满足约束条件是原问题的可行解，所因设原问题是bYXAYXCCXAY,XCAYYY;CYA;Ybmin:bYXAYYYbXA,X0Xb;AXCX;zmax(3)无界性若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解证：由性质（2）可知，例：是不可能成立。,XCbY011202422121212121212121y,yyyyyx,xxxxxyyminxxzmax:DP:LP从两图对比可明显看到原问题无界，其对偶问题无可行解y1y20112212121y,yyyyy0242212121x,xxxxx(4)可行解是最优解时的性质•设是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，•当时，是最优解。XˆbYˆXˆCYˆ,XˆYˆ证明：证毕。所以是最优解存在，的所有可行解同理可证明，对原问题因而是最优解最小的可行解，可见是使目标函数取值所以因都存在所有可行解可知，对偶问题的，根据性质证：若是最优解时，当是对偶问题的可行解是原问题的可行解，设：.,XCbYˆXˆCX.bYˆbY,bYˆXˆC;XCˆbYYbYˆXˆC.Yˆ,XˆbYˆXˆCYˆˆ.2X(5)对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。.BCYˆ,CAYˆ,ABCC,BXˆBB110其中即得到必存在对应的基矩阵是原问题的最优解，它证：设是对偶问题的最优解。可见由此，得到取值是最优解，使目标函数因原问题的使得是对偶问题的可行解，若YˆXˆCbBCbYˆbBCXˆCzXˆbBCbYˆYˆBBB111(6)互补松弛性00SSSSY,YX,XCYYAbXAXYbminCXzmax对偶问题原问题题的标准关系是证：设原问题和对偶问为最优解。当且仅当，和那么题的可行解，分别为原问题和对偶问若Yˆ,Xˆ;XˆYXYˆYˆ,XˆSS00•将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS代替后，得到z=(YA-YS)X=YAX-YSX(2-15)•将对偶问题的目标函数中系数列向量b，用b=AX+XS代替后，得到ω=Y(AX+XS)=YAX+YXS(2-16)0016215244XˆY,XYˆYbYAXCXYˆ,Xˆ,XˆCXˆAYˆbYˆ;0XYˆ0,XˆYSSSS）式可知，必有），（由（），则有根据性质（偶问题的最优解，又若分别是原问题和对是最优解。），可知由性质（则若(7)原问题检验数与对偶问题解的关系•设原问题是•maxz=CX;AX+XS=b;X,XS≥0•它的对偶问题是•minω=Yb;YA-YS=C;Y,YS≥0•则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5。表2-5对应关系YYYBCNBCCXXXSSBBNSNB21110YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量，YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量。证:设B是原问题的一个可行基，于是A=(B,N)；原问题可以改写为maxz=CBXB+CNXNBXB+NXN+XS=bXB，XN，XS≥0•相应地对偶问题可表示为minω=Yb•YB-YS1=CB(2-17)•YN-YS2=CN(2-18)Y，YS1,YS2≥0•这里YS=(YS1，YS2)。•当求得原问题的一个解：XB=B-1b•其相应的检验数为CN-CBB-1N与-CBB-1•现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：令Y=CBB-1，将它代入(2-17)式，(2-18)式得•YS1=0,-YS2=CN-CBB-1N•证毕例4已知线性规划问题maxz=x1+x2-x1+x2+x3≤2-2x1+x2-x3≤1x1,x2,x3≥0试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。先将其变换为对偶问题。上述问题的对偶问题为minω=2y1+y2-y1-2y2≥1y1+y2≥1y1-y2≥0y1，y2≥0由第1约束条件，可知对偶问题无可行解；原问题虽然有可行解，但最优解。例5已知线性规划问题minω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5x1+x2+2x3+x4+3x5≥42x1-x2+3x3+x4+x5≥3xj≥0，j=1，2，…，5•已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解。解：先写出它的对偶问题maxz=4y1+3y2•y1+2y2≤2①•y1-y2≤3②•2y1+3y2≤5③•y1+y2≤2④•3y1+y2≤3⑤•y1，y2≥0将y1*=4/5,y2*=3/5的值代入约束条件，•得②=1/53，③=17/55，④=7/52它们为严格不等式；由互补松弛性得x2*=x3*=x4*=0。•因y1，y2≥0；原问题的两个约束条件应取等式，故有•x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3•求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为X*=(1，0，0，0，1)T；ω*=5以上是理解对偶单纯形法的理论基础