高考数学考纲解读

2019考纲解读河南省实验中学蒋会乾2019年高考数学《考试大纲》已经公布，《考试大纲》明确了高考的性质、地位、作用和功能，确定了考试内容与形式，对指导教学、规范高考命题都有重要意义.与2018年的《考试大纲》相比，考试目标、考试要求、考试范围（内容）基本上没有变化.这说明2019年高考数学学科在考试形式、试卷结构、试题类型等方面仍然保持相对稳定，在新课标及教材使用之前，以比较平稳的方式过渡到新高考.随着教育部《普通高中数学课程标准》（2017年版）的颁布，意味着2019年高考命题必然会适度接轨新高考，体现从知识立意、能力立意向素养立意转化的趋势，发挥高考的导向作用.为此，我们需要深度解读《考试大纲》所蕴含的命题导向、命题思路以及更深层的含义，强化能力，提高素养，科学备考.《考试大纲》、《考试说明》、《试题分析》三者的关系：《考试大纲》是高考的纲领性文件，《考试说明》和《试题分析》是对这个纲领性文件的进一步的说明和解读，三者既统一又互相独立，对《考试大纲》的解读必须结合《《考试说明》和《试题分析》.一立足基础知识考查主干内容1.立足基础知识全国卷的设计立足于中学数学的基础知识、基本技能、基本方法，例如集合、复数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、算法、二项式定理、排列组合等都是直接考查基础知识和基本方法的试题，考的频次非常高.2.考查主干内容全国卷强调对主干内容的重点考查，体现了对数学知识的全面性、基础性和综合性.在解答题中重点考查函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线等主干内容.（2018全国Ⅱ理21，12分）已知函数2xfxeax．（1）若1a，证明：当0x≥时，1fx≥；（2）若fx在0，只有一个零点，求a．二注重创新设计综合考查素养全国卷在立足稳定的基础上注重创新题型设计，这几年的试卷中出现了逻辑推理题、说明合理性的说明题、来自于生产实际的建模题等.例如（2017全国Ⅰ理20）2.综合考查素养全国卷中试题的问题情境更加丰富，设问方式更加新颖，综合、灵活地考查了考生的数学素养及学习新知识的能力.例1（2018全国Ⅲ理7文9）函数422yxx的图像大致为（）函数422yxx的图像大致为（）三注重能力立意突出通性通法1.注重能力立意全国卷以能力立意为核心，重点考查考生的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较好的考查.2.突出通性通法全国卷注重对数学通性通法的考查，试题以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解决这一类题的通用方法，也即一解多题.（2018全国Ⅱ理20，12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．四贴近生活实际体现应用价值全国卷在数学试题的设计上紧密结合社会实际和考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强应用的特点，很好地体现了“立德树人”的教育理念.例如（2017全国Ⅰ理12）3（2017全国Ⅰ理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数:100NN且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110五注重试题的技巧性优解，突出选拔功能坚持多角度、多层次地考查考生思维的灵活性，通过试题的一题多解，特别是技巧性优解和快解，较好地区分不同层次的考生，体现出较好的选拔功能.例1（2013全国Ⅱ12）yxy=ax+b图1GFHCABO【解析一】分两种情况例2（2015全国理Ⅰ12）【优解】21221xxxfxexeaexa.由于(1)0,(0)10,fefa则根据题意得133(1)320,,122feaaaee即，此时，10,0;xfxfxfx当时，为增函数，10,0xfxfxfx当时，为减函数，，故选D.解法二：解法三：解法四例3（2019益阳高三调研12）设函数32()35fxxxaxa，若存在唯一的正整数0x使得0()0fx，则a的取值范围是1151353.0,.,.,.,3343242ABCD【优解】B由题意得，若0x=1，则3(1)3202,1(2)1303afafaa，不合题意；若0x=2，则32(1)320151,,(2)130343(3)54054afaafaafaa，符合题意，故选B.【通解】B由()0fx得3232350,35(1)xxaxaxxax.设32()35,()(1)gxxxhxax，2'()363(2)gxxxxx，()gx的增区间为(,0),(2,)，减区间为maxmin(0,2),()(0)5,()(2)1gxggxg，分别做出(),()gxhx的图象如图.101505,213314ABACkk=1，则1534a，故选B.yxf(x)g(x)12345–1–2–3–4123456–1–2–3–4C(3,5)B(2,1)AO2'()363(2)gxxxxx，()gx的增区间为(,0),(2,)，减区间为maxmin(0,2),()(0)5,()(2)1gxggxg，分别做出(),()gxhx的图象如图.101505,213314ABACkk=1，则1534a，故选B.例4（2018河南省实验中学月考一12）已知函数221ln224fxxxgxxmx与的图象上存在关于（1，0）对称的点，则实数m的取值范围是A.,1ln2B.,1ln2C.1ln2+，D.1ln2，【特优解】D在()fx的图象上取点（1，-1），其关于（1，0）的对称点为（1，1），代入()gx的解析式得12m，由于11ln21ln2e，排除A、B，再在()fx的图象上取点11,ln224，其关于（1，0）的对称点为31,ln224，代入()gx的解析式得1ln2m，故选D.【优解】D在fx的图象上取点,()xfx，其关于（1，0）对称的点为2,()xfx，代入gx的解析式得221ln2xxxmx，根据题意得方程1ln2mxx有解，构造函数22min111211ln,,1ln22222xhxxhxhxhxxxx，所以1ln2m，故选D.例5已知函数()ln1,(0,)tfxxxex，经过P（1，-1）仅能作唯一一条直线与函数()fx的图象相切，则实数t的取值范围是12.,0,.,0,1222.,,.,,1212eeABeeeeeCDee【通解】A21(),(0,)tfxxexx.当P在函数()fx的图象上时，t=0，此时有且仅有一条切线，(1)1f；当P不在函数()fx的图象上时，设切点为00(,())Mxfx，则000000()1(),()1(1)()1fxfxfxxfxx，因此，无论P是否在函数()fx的图象上，若切点为00(,())Mxfx，总有000()1(1)()fxxfx，即2200000(21)lnxtxxxx，显然012x不是方程的解，则220000000ln1(0,212xxxxtxexx且）.设22ln1()(0,212xxxxgxxexx且），2222(212ln1)(21)2(ln)(1)(2ln1)()(21)(21)xxxxxxxxxxxgxxx，而对于1()2ln1(0,,'()2(ln1),2hxxxxexhxx且）min12()0,()0ehxhhxee，因此，当102x时，()0,()gxgx为增函数；当112x时，()0,()gxgx为增函数；当1xe时，()0,()gxgx为减函数，如图.(1)0,()12eggee，所以t的取值范围为,0,12ee，故选A.yxx=12eO1六构建解决数学问题的模式识别能力当遇到一道数学题目时，你的第一反应是什么?当然是迅速形成解题方案.在经过审题并且理解题意后，立即思考问题属于哪一部分（代数部分、立体几何部分、三角部分、解析几何部分等等）、哪一章节?与这一章节的哪个类型比较接近?解决这个类型有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这样一来，解题思路就有了.这就是解决数学问题的模式识别.例如对于函数、导数及不等式问题的解题模式1.分离参数2.优化讨论3.合理放缩4.一般化思维5.导数正负判断6.等价转化7.递进关系8.构造函数9.虚设零点例（2017全国Ⅰ理21）解析一：七注重数学思想的解读，有效提高考生的解题能力数学思想包括函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、统计与概率的思想，但是如何把这些思想具体化，落地生根并且开花结果，这是应该贯彻到整个教学过程中的.案例1：函数与方程思想的解读函数思想就是利用运动变化的观点分析具体问题中变量间的关系，并通过函数的形式表示出来，加以研究，从而使问题获解.方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程，然后通过研究方程使问题获解.函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.解读一参数思维：是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.运用参数解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.例1椭圆x216＋y24＝1上有两点P、Q，O为原点,连OP、OQ，若OPk·OQk＝－14.求证：22OPOQ等于定值.解读二目标方程法：根据题设条件求出目标曲线的含参数的目标方程，通过变换、消减参数等技巧化简目标方程，从而得出曲线所过的定点或动点所在的定直线，这种方法叫做目标方程法.（2017全国Ⅰ理20）2214xy八注重数学能力的解读，快速提升考生的核心素养《考试大纲》规定，数学科考试着重考查考生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.案例一推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明，演绎推理是考查的考点.解读1配方思维：是对代数式进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂