人教版九年级数学下第28.2.2应用举例

28.2.2解直角三角形应用举例（第1课时）学习目标1．会把实际问题转化为解直角三角形问题，提高数学建模能力；2.会把实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养大家分析问题、解决问题的能力．1.解直角三角形：2.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º（互余关系）(3)边角之间的关系:（锐角三角函数）ABabcCcaAA斜边的对边sincbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancbBB斜边的对边sincaBB斜边的邻边cosabBBB的邻边的对边tan知识回顾在直角三角形中,除直角外,由已知的两个元素(必有一边)求其余三个未知元素的过程叫解直角三角形.知斜边，求直边，正余弦，很方便；知直边，求直边，用正切，理当然；知两边，求一边，用勾股，最方便；知两边，求一角，边角式，要选好；知锐角，求锐角，用互余，最可靠；知直边，求斜边，用除法，正余弦；好方法，要选择，能用乘，不用除.2.选择解直角三角形方法的原则：1.解直角三角形优选关系式的口诀：3.解直角三角形一般有两种情形：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角．（1）有斜用弦，无斜用切；（2）作垂线，构造直角三角形；（3）数形结合，便于分析.知识回顾2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果保留整数）？·OQFPα学习例3想一想：（1）你能根据题意，画出示意图吗？（2）地球是圆形的，从组合体中直接看到地球表面的最远点，实际上就是什么？（视线与地球相切时的切点）（3）要求最远点Q与P点的距离,实际上就是求什么？PQ(的长）（4）弧长的计算公式是怎样的？要求弧长应该具备哪些条件？nRl3602（.应具备n、R两个条件）（5）怎样求圆心角n呢？（构造直角三角形，用锐角三角函数求圆心角n）解：在右图中，设∠POQ＝α，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．9491.034364006400cosOFOQ36.18)(20516400180142.336.18640018036.18km当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2051km.·OQFPα∴PQ的长为：⌒学习例32012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果保留整数）？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点．的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即a）的度数.PQ⌒PQ⌒利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形,构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题；2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.归纳小结如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为1cm，PB=1.2cm，则∠AOB=，=．OAPBAB练习1如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么另一边开挖点E离D多远正好能使A，C，E在一直线上（结果保留到小数点后一位）50°140°ABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：开挖点E离点D334.2m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角.在Rt△BDE中，52050cosDE∴DE＝520×cos50°≈334.2m练习2热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？ABCDαβ仰角水平线俯角视线在水平线下方的角叫做俯角.测量时，视线与水平线所成的角中，铅直线视线视线水平线仰角俯角视线在水平线上方的角叫做仰角；学习例4理解：仰角和俯角分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°在Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，在Rt△ACD中，β=60°，AD＝120，可以利用解直角三角形的知识求出CD；最后，求出BC．ABCDαβ学习例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？想一想：（1）你能根据题意，画出几何图形吗？（2）在右图中，已知什么？求什么？（3）怎样求BC的长呢？其依据是什么？120m解：如图，α=30°,β=60°，AD＝120．ADCDADBDtan,tan30tan120tanaADBD.3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC)(2773160m答：这栋楼高约为277m.ABCDαβ120m学习例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）.ABCD40m50°45°ABCD40m50°45°解：在等腰三角形BCD中，∠ACD=90°，BC=DC=40m在Rt△ACD中，所以AB=AC－BC=47.67－40=7.67≈7.7m答：棋杆的高度为7.7m.DCACADCtan∴AC＝40×tan50°≈47.67（m)又∵BC＝DC练习32.如图2，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看到地面指挥台B的俯角α=16°31′，则飞机A与指挥台B的距离为.(结果取整数)图11.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°1003(50)3C图2αABC12004221m练习41.如图1，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（保留根号）．100(31)m2.如图2，从热汽球C处测得地面A，B两地的俯角分别为30°和45°，如果此时热汽球C处的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是（）A、200mB、200mC、220mD、100（＋1）m333图1图2BDAC30°45°D练习5如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°.求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）235E解：作CE⊥AB，交线段AB的延长线于E.由题意知：AB＝1464，∠EAC＝30°，∠CBE＝45°.在Rt△ACE中，tan30°＝331464xxAECExx3314643整理得：mx200013732）（解得：∴点C深度约为2000＋600＝2600米.练习6设CE＝x米，则BE＝x米.一.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形,构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形；2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数去解直角三角形：有“斜”用“弦”;无“斜”用“切”；3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.归纳小结4.如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．二.解题方法归纳：1．数形结合思想；2．方程思想；3.把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.课本第78页第2，3，4题．课外作业