解直角三角形总结提升

数学新课标（HS）九年级上册本章总结提升本章知识框架本章总结提升本章总结提升acbcab1010本章总结提升1增大减小(90°－∠A)(90°－∠A)本章总结提升acbcaba2＋b2＝c290°ba直角三角形上下铅垂高度水平宽度整合拓展创新►类型之一锐角三角函数本章总结提升例1[2013·梧州]如图24－T－1，A、B、C三点在正方形网格的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为()A.12B.13C.14D.24图24－T－1B本章总结提升►类型之二解直角三角形在三角形中的应用例2[2013·常德]如图24－T－2所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．图24－T－2本章总结提升[解析]由题中条件不难看出△ADC是等腰直角三角形，则可得出CD＝AD＝1，解Rt△ABD可得BD的长，从而求出BC的长；由AE是BC边的中线，可知DE＝12BC－CD，在Rt△AED中，DE与AD的长度知道了，就可以求出tan∠DAE的值．本章总结提升解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又AD＝1，∴AB＝3，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝22＋1.(2)∵AE是BC边上的中线，∴DE＝22＋12－1＝2－12.∴tan∠DAE＝2－121＝2－12.本章总结提升[点评]解决解直角三角形的问题时，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，弄清已知条件中各量之间的关系，利用三角函数关系式解题；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．本章总结提升►类型之三解直角三角形在四边形中的应用例3[2013·天水]如图24－T－3所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，求CD的长和四边形ABCD的面积．图24－T－3本章总结提升[解析](1)要求CD的长，通常需要把它放到一个三角形中，考虑到∠CED＝45°，∠DCE＝30°，可以过点D作CE的垂线，那么会出现两个直角三角形，问题得以解决；(2)四边形ABCD的面积等于△ABC和△ACD的面积和．解：过点D作CE的垂线，垂足为M，如图24－T－4所示．图24－T－4本章总结提升因为DM⊥AC，所以∠DME＝∠DMC＝90°.又∠CED＝45°，DE＝2，所以DM＝EM＝1.又∠DCE＝30°，所以CD＝2，CM＝3.因为∠CED＝45°，所以∠AEB＝45°.又∠BAC＝90°，BE＝22，所以AB＝AE＝2.所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12·AC·AB＋12·AC·DM＝12·AC·(AB＋DM)＝12×(2＋1＋3)(2＋1)＝332＋92.本章总结提升[点评](1)在解决图形问题时，若出现某些特殊的角度，如30°、45°、60°等，可以考虑作直角三角形，然后利用三角函数来解题．(2)割补法是求不规则图形的常见方法，其一般做法是通过添加图形或是分割图形，使其成为规则的图形，然后相加或相减求值．本章总结提升►类型之四解直角三角形在实际中的应用例4如图24－T－5，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41,3≈1.73)图24－T－5本章总结提升[解析]△ABC不是直角三角形，若作CD⊥AB于点D，则把原三角形分割成两个直角三角形：Rt△ADC和Rt△BDC.在Rt△ADC中，已知AC和∠A，可求出AD和CD的长；在Rt△BDC中，已知∠B和已求得的CD的长，可求出BD和BC的长，AC＋BC－AB就是汽车少走的路线的长．本章总结提升解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10km，∴CD＝12AC＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝53(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝5km，BC＝CDsin45°＝52(km)．∴AB＝AD＋BD＝(53＋5)(km)，∴AC＋BC－AB＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4(km)．∴隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走约3.4km.[点评]对于非直角三角形，可以通过作高，构造直角三角形解决．本章总结提升►类型之五仰角、俯角在解直角三角形中的应用例5[2013·黄冈]如图24－T－6所示，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的仰角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°.然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB.(3≈1.73，2≈1.41，结果精确到1米)图24－T－6本章总结提升[解析]要求塔高AB，可先利用等腰三角形的性质和判定确定AE的长，再通过Rt△AEF求出AF的长，通过Rt△BEF求出BF的长，最后由二者差求塔高AB.解：依题意可知∠AEB＝30°，∠ACE＝15°，又∠AEB＝∠ACE＋∠CAE，∴∠CAE＝15°.即△ACE为等腰三角形，∴AE＝CE＝100m．在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，∴EF＝AE·cos60°＝50(m)，AF＝AE·sin60°＝503(m)．在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，∴BF＝EF·tan30°＝50×33＝5033(m)，∴AB＝AF－BF＝503－5033＝10033≈58(米)．答：塔高AB大约为58米．本章总结提升[点评](1)要注意俯角是俯视时的视线与水平线的夹角，不要弄成了俯视时的视线与铅垂线的夹角；(2)从点B测得点A的俯角等于从点A测得点B的仰角；(3)解答测量问题时，要注意从中学习测量的方法与策略．本章总结提升►类型之六坡度、坡角的应用例6水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图24－T－7所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．本章总结提升图24－T－7解：(1)分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F、G，如图24－T－8所示．图24－T－8本章总结提升∵在Rt△ABF中，AB＝16米，∠B＝60°，sinB＝AFAB，∴AF＝16×32＝83.∴在矩形AFGD中，AF＝83，DG＝83.∴S△DCE＝12×CE×DG＝12×8×83＝323.需要填土石方：150×323＝48003(立方米)．(2)在直角三角形DGC中，DC＝163，∴GC＝DC2－DG2＝24，∴GE＝GC＋CE＝32，坡度i＝DGGE＝8332＝34＝1∶433.本章总结提升[点评]斜坡的坡角指坡面与水平面所夹的锐角，坡比是指坡角的正切值，亦即斜坡高度(铅垂高度)和水平长度的比，切莫把坡比误认为斜坡的垂直高度与斜坡长度的比，也就是莫把坡角的正弦误作坡度．本章总结提升►类型之七方向角的应用例7[2013·遂宁]钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图24－T－9，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少？(结果保留根号)本章总结提升[解析]通过添加辅助线将斜三角形转化成直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图24－T－10，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°.在Rt△ABD中，BD＝AB·sin∠BAD＝20×22＝102(海里)，在Rt△BCD中，BC＝BDsin∠BCD＝10212＝202(海里)．答：此时船C与船B的距离是202海里．