动圆过定点问题

1一个圆过定点问题的探究和推广已知圆O的方程为221xy,直线1l过定点(3,0)A且与圆O相切.(1)求直线1l的方程;(2)设圆O与x轴交与,PQ两点,M是圆O上异于,PQ的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为2l,直线PM交直线2l于点'P,直线QM交直线2l于点'Q.求证:以''QP为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.解:(1)省略;(2)对于圆方程122yx,令0y,得1x,即(1,0),(1,0)PQ.又直线2l过点A且与x轴垂直，∴直线2l方程为3x.设(,)Mst，则直线PM方程为).1(1xsty解方程组3,(1)1xtyxs,得).14,3('stP同理可得,).12,3('stQ∴以PQ为直径的圆C的方程为0)12)(14()3)(3(stystyxx，又122ts，∴整理得2262(61)0sxyxyt-+-++=，若圆C经过定点,只需令0y=,从而有2610xx-+=,解得322x，∴圆C总经过定点坐标为(322,0).备注:本题是09年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第17题)笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,导致后期定点的出现不自然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法:解:设直线,PMQM的斜率分别为12,kk,则121kk直线1:(1)PMykx,令3x,则1'(3,4)Pk,直线2:(1)QMykx,令3x,则2'(3,2)Qk,以PQ为直径的圆C的方程为12(3)(3)(4)(2)0xxykyk,2即22111(3)82(2)0xykyk令0y,则32x.即以PQ为直径的圆C总经过定点坐标为(322,0).从上述的改进解法中,我们注意到,由点M在圆上运动而生成的两个动点,PQ始终满足一个不变的条件,即它们纵坐标的乘积始终为定值.记以PQ为直径的圆与x轴的交点为12,HH,则由圆的相交弦定理可得到结论:2212AHAHAPAQ,易知,点12,HH即为以PQ为直径的圆C经过的定点.由此,我们不难发现,此类圆过定点的问题是根据圆的相交弦定理来命制的.将问题一般化后,即可得到如下的命题:命题1:已知圆222:Oxya与x轴交与,AB两点,垂直于x轴的直线l过定点(,0)()Qmma,P是圆O上异于,AB的任意一点,若直线PA交直线l于点M,直线PB交直线l于点N,则以MN为直径的圆C总经过定点22(,0)mma.证明:设直线,PAPB的斜率分别为12,kk,则121kk直线1:()PAykxa,令xm,则1()Mykma,直线2:()PBykxa,令xm,则2()Nykma,2212()()()MNyykmakmama即22QMQNma设以MN为直径的圆C与x轴的交点为12,HH,则由圆的相交弦定理可得2212QHQHQMQN,所以222212(,0),(,0)HmmaHmma即为以MN为直径的圆C经过的定点.在得到圆的优美结论后,我们自然会产生联想,圆锥曲线也有这样的优美性质吗?笔者经过探究,得到如下的一组命题:命题2:已知椭圆2222:1(0)xyOabab与x轴交与,AB两点,垂直于x轴的直线l过定点(,0)()Qmma,P是椭圆O上异于,AB的任意一点,若直线PA交直线l于点M,直线PB交直线l于点N,则以MN为直径的圆C总经过定点22(,0)bmmaa.证明:设直线,PAPB的斜率分别为12,kk,则2122bkka3直线1:()PAykxa,令xm,则1()Mykma,直线2:()PBykxa,令xm,则2()Nykma,222122()()()MNbyykmakmamaa即22QMQNma设以MN为直径的圆C与x轴的交点为12,HH,则由圆的相交弦定理可得2212QHQHQMQN,所以222212(,0),(,0)bbHmmaHmmaaa即为以MN为直径的圆C经过的定点.特别地,当2amc时,以MN为直径的圆C经过椭圆的右焦点.命题3:已知双曲线2222:1(,0)xyOabab与x轴交与,AB两点,垂直于x轴的直线l过定点(,0)(0)Qmma,P是双曲线O上异于,AB的任意一点,若直线PA交直线l于点M,直线PB交直线l于点N,则以MN为直径的圆C总经过定点22(,0)bmmaa.证明:设直线,PAPB的斜率分别为12,kk,则2122bkka直线1:()PAykxa,令xm,则1()Mykma,直线2:()PBykxa,令xm,则2()Nykma,222122()()()MNbyykmakmamaa即22QMQNma设以MN为直径的圆C与x轴的交点为12,HH,则由圆的相交弦定理可得2212QHQHQMQN,所以222212(,0),(,0)bbHmmaHmmaaa即为以MN为直径的圆C经过的定点.特别地,当2amc时,以MN为直径的圆C经过椭圆的右焦点.命题4:已知抛物线2:2(0)Oypxp,垂直于x轴的直线l过定点(,0)(0)Qmm,P是抛物线O上异于O的任意一点,点P在直线l上的射影为点M,直线PO交直线l于点N,则以MN为直径的圆C4总经过定点(2,0)mpm.证明:设00(,)Pxy,则直线00:yPNyxx,令xm,则00Nyymx0002MNyyyympmx,所以2QMQNpm设以MN为直径的圆C与x轴的交点为12,HH,则由圆的相交弦定理可得2212QHQHQMQN,所以12(2,0),(2,0)HmpmHmpm即为以MN为直径的圆C经过的定点.特别地,当2pm时,以MN为直径的圆C经过抛物线的焦点(,0)2p.