高中文科数学必修5知识点总结及配3套练习试卷和答案

必修5§1.解三角形1．正弦定理(1)形式一：CcBbAasinsinsin=2R；形式二：R2aAsin＝；R2bBsin＝；R2cCsin＝；（角到边的转换）形式三：AsinR2a，BsinR2b，CsinR2c；（边到角的转换）形式四：Bsinac21Asinbc21Csinab21S；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出A,ba，那么解的个数为：若Asinba，则无解；若AsinbaAsinba或者，则一解；若baAsinb，则两解；2．余弦定理：txjy（1）形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;解(1)由已知及正弦定理(2RsinA)2BcosBsin=(2RsinB)2AcosAsin2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.【例2】3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－Csin3①求证：△ABC是等腰三角形②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2求：CDAB的值【例3】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cosA.（Ⅰ）求ACB2cos2sin2的值；（Ⅱ）若3a，求bc的最大值.【解】(Ⅰ)ACB2cos2sin2=)1cos2()]cos(1[212ACB=)1cos2()cos1(212AA=)192()311(21=91(Ⅱ)∵31cos2222Abcacb∴2222232abcacbbc,又∵3a∴.49bc且仅当b=c=23时,bc=49,故bc的最大值是49.【追踪训练】1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（）A．310B．1310C．13D．3102、在△ABC中，a＝32，b＝22，B＝45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°3、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（）A．无解B．一解C．二解D．不能确定4、在△ABC中，已知bccba222，则角A为（）A．3B．6C．32D．3或325、在△ABC中，若BbAacoscos，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形6、在△ABC中，已知CBAsincossin2,那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形7、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::cba②6:5:2::cba③cmccmbcma3,5.2,2④6:5:4::CBA其中成立的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个8、在△ABC中，3AB,1AC,∠A＝30°，则△ABC面积为（）A．23B．43C．23或3D．43或239、已知△ABC的面积为23，且3,2cb，则∠A等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°10、已知△ABC的三边长6,5,3cba，则△ABC的面积为（）A．14B．142C．15D．15211、在△ABC中，若cCbBaAsincoscos，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形§2.数列1、数列[数列的通项公式])2()1(111nSSnSaannn[数列的前n项和]nnaaaaS3212、等差数列[等差数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。[等差数列的判定方法]1．定义法：若daann12．等差中项：若212nnnaaa[等差数列的通项公式]如果等差数列na的首项是1a，公差是d，则等差数列的通项为dnaan)1(1。[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。[等差数列的前n项和]1．2)(1nnaanS2.dnnnaSn2)1(1[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。[等差中项]如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：2baA或baA2[等差数列的性质]1．等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(2．对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。3．若数列na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。3、等比数列[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q）。[等比中项]如果是的等比中项，那么GbaG，即abG2。[等比数列的判定方法]1定义法：若)0(1qqaann2．等比中项法：若212nnnaaa，2[等比数列的通项公式]na的首项是1a，公比是q，则等比数列的通项为11nnqaa。3[等比数列的前n项和]1,1,11)1(111qnaqqqaaqqaSnnn[等比数列的性质]1．等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa3．对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa4．若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。4、数列前n项和（1）重要公式：2)1(321nnn；6)12)(1(3212222nnnn；2333)]1(21[21nnn奎屯王新敞新疆（2）等差数列中，mndSSSnmnm（3）等比数列中，nmmmnnnmSqSSqSS（4）裂项求和：111)1(1nnnn；【追踪训练】2、已知nS为等差数列na的前n项和，100,7,141nSaa，则n.3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.4、已知na为等差数列，20,86015aa，则75a5、已知na为等比数列，162,262aa，则10a6、已知nS为等差数列na的前n项和，10,10010010SS，求110S.7、已知下列数列na的前n项和nS，分别求它们的通项公式na.⑴nnSn322；⑵13nnS.8、数列na中，)2(22,1111naaaannn，求5432,,,aaaa，并归纳出na.9、数列na中，452nnan.⑴18是数列中的第几项？⑵n为何值时，na有最小值？并求最小值.§3.不等式一、不等式的基本性质：babababababa0,0,0（1）对称性：abba（2）传递性：,abbcac（2）同加性：若abacbc（3）同乘性：若,0abcacbc若,0abcacbc如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论二、一元二次不等式解法：解一元二次不等式的步骤：（用具体不等式比较好理解）①将二次项系数化为“+”：A=cbxax20(或0)(a0)②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.0时，求根1x2x，.002121xxxAxxxA，则若；或，则若ⅱ.=0时，求根1x＝2x＝0x，.00000xxAxAxxA，则若；，则若的一切实数；，则若ⅲ.0时，方程无解，.00xARxA，则若；，则若③写出解集.设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx1、已知二次不等式20axbxc的解集为1132{|}xxx或，求关于x的不等式20cxbxa的解集.2、若关于m的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集，求m的取值范围.追踪训练1、设22{|430},{|280}AxxxBxxxa，且AB，求a的取值范围.2、已知二次不等式20axbxc的解集为1132{|}xxx或，求关于x的不等式20cxbxa的解集.3、若关于m的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集，求m的取值范围.三、二元一次不等式（组）与平面区域四、简单的线性规划典型例题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.35,1,1535yxxyyx解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t最大.所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.zmax=3×89+5×817=14xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0CBAO3x-5y-3=0-1-115五、基本不等式2abab1．重要不等式：如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba2．基本不等式：如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数（注意：abbaabba2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。）不等式应用：（1）.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a＝b时成立.(简记为：和为定值积最大)(2）.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则