2.2 地理空间数学基础

第2章地理信息系统§2.2地理空间数学基础本章内容：一地理空间参考二空间数据投影三空间坐标转换四空间尺度一地理空间参考解决地球的空间定位与数学描述问题。（一）地球形状与地球椭球（二）坐标系统（三）高程基准一地理空间参考（一）地球形状与地球椭球自然地球表面自然地球表面是一个起伏不平，十分不规则的表面，最高点珠峰（8848.13米），最深处马里亚那海沟（-11034米。这个高低不平的表面无法用数学公式表达，也无法进行计算。那么如何准确表达地球上每一点的绝对位置呢？——找出一个规则的曲面来代替地球的自然表面。假设，当海水处于完全静止的平衡状态时，存在着一个从海平面延伸到所有大陆下部、而与地球重力方向处处正交的一个连续、闭合的水准面，这就是大地水准面。大地水准面以大地水准面为基准，可以用水准仪完成地球自然表面上任一点高程的测量。地球椭球面——规则的数学曲面ab基于大地水准面建立地球椭球体模型：2222221xyzaab旋转椭球体是地球表面几何模型中最简单一类模型，为世界各国普遍采用作为测量工作的基准。我国目前一般采用克拉索夫斯基椭球体作为地球表面几何模型。主要参数：长轴、短轴、扁率国际主要的椭球参数椭球名称年代长半径/m扁率附注德兰勃（Delambre）18006,375,6531：334.0法国埃弗瑞斯(Everest)18306,337,2761:300.801英国贝赛尔(Bessel)18416,377,3971:299.152德国克拉克(Clarke)18806,378,2491:293.459英国海福特(Hayford)19106,378,3881:297.01942年国际第一个推荐值克拉索夫斯基19406,378,2451:298.3苏联1967年大地坐标系19676,378,1601:298.2471971年国际第二个推荐值1975年大地坐标系19756,378,1401:298.2571975年国际第三个推荐值1980年大地坐标系19796,378,1371:298.2571979年国际第四个推荐值地球表面椭球体海面大地水准面从地球自然表面大地水准面地球椭球面大地基准面：大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近。因此每个国家或地区均有各自的大地基准面。椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系一地理空间参考（二）坐标系统坐标系统球面坐标系统平面坐标系统天文坐标系大地坐标系空间直角坐标系表示地面点在大地水准面上的位置，它的基准面是大地水准面，它用天文经度λ和天文纬度φ两个参数来表示地面点在大地体上的位置。球面坐标系统：天文坐标系天文坐标系K(λ,φ)大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。地面点的位置用大地经度L、大地纬度B和大地高程来表示。球面坐标系统：大地坐标系P(L,B,H)LB大地坐标系大地经、纬度是根据起始大地点（大地原点，该点的大地经纬度与天文经纬度一致）的大地坐标，按大地测量所得的数据推算而得的。由于天文坐标和大地坐标选用的基准线和基准面不同，所以同一点的天文坐标与大地坐标不一样，不过这种差异很小，在普通测量工作中可以忽略。陕西泾阳县永乐镇石际寺村大地原点国家大地控制网大地坐标系1954北京坐标系——采用克拉索夫斯基椭球，实质上是由原苏联普尔科沃为原点的1942年坐标系的延伸。1980西安坐标系——采用1975国际椭球，以陕西省泾阳县永乐镇大地原点为起算点。参心空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角。球面坐标系统：空间直角坐标系（参心、地心）地心空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心。WGS-84坐标系——“WorldGeodeticSystem”(世界大地坐标系）是美国国防局为进行GPS导航定位于1984年建立的地心坐标系，1985年投入使用，采用WGS-84椭球。平面坐标系统=球面坐标系统+投影规则一地理空间参考（三）高程基准1绝对高程。地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。高程基准是推算国家统一高程控制网的水准原点的起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。我国高程基准：1956年黄海高程系（水准原点高程为72.289m）1985年国家高程基准（国家水准原点高程为72.260m)水准原点1985国家高程基准，72.2604米黄海海面1952-1979年平均海水面为0米青岛市观象山上国家水准原点国家高程控制网是确定地貌地物海拔高程的坐标系统，按控制等级和施测精度分为一、二、三、四等网。目前提供使用的1985国家高程系统共有水准点成果114041个，水准路线长度为416619．1公里。2006年5月，为更好地利用水准原点这一独特的资源，经国家测绘局批准，由专家精确移植水准原点信息数据，在青岛银海大世界内（也叫银海国际游艇俱乐部内）建起了“中华人民共和国水准零点”。这也是全国唯一的水准零点标志。2相对高程。地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。3高差。地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。本章内容：一地理空间参考二空间数据投影三空间坐标转换四空间尺度二空间数据投影解决如何把地球曲面信息展布到二维平面。（一）为何要进行投影？（二）地图投影变形（三）地图投影的分类（四）常用地图投影概述（五）地图投影的选择地图投影MapScaleMapdistanceEarthdistance=CurvedEarthGeographiccoordinates:B,L(Latitude&Longitude)FlatMapCartesiancoordinates:x,y(Easting&Northing)(xo,yo)XY二空间数据投影将地球椭球面上的点映射到平面上的方法，称为地图投影。1球面坐标不方便进行距离、方位、面积等参数的量算；2地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、方位、面积等量算和各种空间分析。3地球椭球体为不可展曲面；（一）为何要进行投影？地图投影实质：建立地球椭球面上的点的地理坐标（B，L）与平面上对应点的平面坐标（x，y）之间的函数关系：12(,)(,)xfBLyfBL二空间数据投影（二）地图投影变形将不可展的地球椭球面展开成平面，并且不能有断裂，则图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，故投影变形是不可避免的。长度变形面积变形角度变形二空间数据投影（三）地图投影的分类变形分类：等角投影：投影前后角度不变等面积投影：投影前后面积不变；任意投影：角度、面积、长度均变形投影面：圆柱投影：投影面为圆柱圆锥投影：投影面为圆锥方位投影：投影面为平面投影面位置：正轴投影：投影面中心轴与地轴相互重合斜轴投影：投影面中心轴与地轴斜向相交横轴投影：投影面中心轴与地轴相互垂直相切投影：投影面与椭球体相切相割投影：投影面与椭球体相割二空间数据投影（四）常用地图投影概述1高斯-克吕格投影2通用墨卡托投影（UTM-UniversalTransverseMercator)3兰勃特等角投影（Lambertconformalconic)1高斯-克吕格投影-等角横轴切圆柱投影高斯-克吕格尔投影是德国的C.F.高斯于1822年提出的，后经德国的克吕格(J.H.L.Krüger)于1912年加以扩充而完善。设想一个椭圆柱横切于地球椭球某一经线，根据等角条件，用解析法将中央经线两侧一定经差范围内地球椭球体面上的经纬网投影到椭圆柱面上，并将此椭圆柱面展为平面所得到的一种等角投影。示意图如下：高斯-克吕格投影有以下特性：①中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。离开中央子午线越远，变形越大。②投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保持正交。③离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。④所有经线和纬线正交。通常其按经差6°或3°分为六度带或三度带。六度带自本初子午线起每隔经差6°自西向东分60带。三度带是在六度带的基础上分成的，自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分120带。我国规定1:1万、1:2.5万、1:5万、1:10万、1:25万、1:50万比例尺地形图均采用高斯投影。1:2.5至1:50万比例尺地形图采用经差6度分带，1:1万比例尺地形图采用经差3度分带。高斯平面直角坐标系坐标原点：赤道和中央子午线的交点。x轴：中央子午线，北方向为正。y轴：赤道投影线，东方向为正。※在计算中为避免Y值出现负值，我国规定各投影带内纵坐标轴西移500KM。YA=100000mYB=-200000m2通用墨卡托投影（UTM-UniversalTransverseMercator)——等角横轴割圆柱投影圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条相割的经线上没有变形。该投影将地球划分为60个投影带，自180度经线向东每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。高斯-克吕格投影的中央经线投影后保持长度不变，而UTM投影的比例系数为0.9996。3兰勃特等角投影（Lambertconformalconic)——正轴割圆锥投影由德国数学家兰勃特在1772年拟定。设想用一个正圆锥割球面两标准纬线，应用等角条件将地图投影到圆锥面上，然后沿一母线展开，即为兰勃特投影平面。我国比例尺小于1:100万的地图通常采用兰勃特投影。二空间数据投影（五）地图投影的选择地图投影的选择依据：1.制图区域的地理位置，形状和范围2.制图比例尺3.地图的内容1.制图区域的地理位置，形状和范围地理位置制图区域的地理位置决定了所选择投影的种类。例如，制图区域在极地位置，理所当然地选择正轴方位投影；在赤道附近应考虑选择横轴方位投影或正轴方位投影；若制图区域在中纬地区，则应考虑选择正轴圆锥投影或斜轴方位投影。选用投影时最好使等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致。方位投影的变形线的形状是以投影中心为圆心的圆形，所以它最适合表示具有圆形轮廓的区域；当制图区域沿东西方向延伸且处于中纬地区时，则宜采用正轴圆锥投影，如中国、美国等。当制图区域在赤道附近或处于赤道两侧沿东西方向延伸时，应采用正轴圆柱投影，如印度尼西亚。当制图区域沿南北方向延伸，一般采用横轴圆柱投影和多圆锥投影，如南美洲的阿根廷、智利。形状制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。当制图区域范围不太大时，无论选择什么投影，制图区域范围内各处变形差异都不会太大。有人曾以我国最大的省区新疆维吾尔自治区为例，用等角、等积、等距三种正轴圆锥投影作比较，其计算结果表明，不同纬度的长度变形差别甚微。可见其他省区图变形差异就更微乎其微了。而对于制图区域广大的大国地图、大洲地图、半球图、世界图等，则需要慎重地选择投影。范围2.制图比例尺不同比例尺地图对精度要求的不同，导致在投影选择上亦各不相同。以我国为例，大比例尺地形图，由于要在图上进行各种量算及精确定位，因此应选择各方面变形都很小的地图投影，比如分带投影的横轴等角椭圆柱投影（如高斯—克吕格投影）。而中小比例尺的省区图，由于概括程度高于大比例尺地形图，因而定位精度相对降低，选用正轴等角、等积、等距的圆锥投影即可满足用图要求。3.地图的内容即使同一个制图区域，但因地图所表现的主题和内容不同，因而其地图投影选择也应有所不同。如交通图、航海图、军用图等要求方向正确地图应选择等角投影；而自然地图和社会经济地图中的分布图、类型图等则要选择等积投影。再如世界时区图，为使时区的划分表现得清楚，只能选择经线投影成直线的正轴圆柱投影等。本章内容：一地理空间参考二空间数据投影三空间坐标转换四空间尺度把空间数据从一种空间参考系映射到另一种空间参考系中。三空间坐标转换三空间坐标转换（一）空间直角坐标的转换（二）投影解析转换（三）数值拟合转换本章内容：一地理空间参考二空间数据投影三空间坐标转换四空间尺度五地理格网四空间尺度在多大的详尽程度研究空间信息。（一）观测尺度（二）比例尺（三）分辨率（四）操作尺度四空间尺度（一）观测尺度指研究的区域大小或空间范围。四空间尺度