2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题(整理好)

12016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间2016年3月13日9∶00－11∶00满分150分一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)1．在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0，2)，点A在x轴正半轴上且∠BAO＝30°．将△OAB沿直线AB折叠得△CAB，则点C的坐标为()A．(1，3)B．(3，3)C．(3，3)D．(3，1)2．若实数a，b满足a2＋3a＝2，b2＋3b＝2，且a≠b，则(1＋a2)(1＋b2)＝()A．18B．12C．9D．63．若关于x的方程x＋2x－2＋x－2x＋2＋4x＋ax2－4＝0只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的值的总和为()A．－6B．－30C．－32D．－384．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝3，CA＝7，I为△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D．记△CAI的面积为m，△DAI的面积为n，则mn＝()A．32B．43C．53D．745．已知x，y为实数，且满足x2－xy＋4y2＝4，记u＝x2＋xy＋4y2的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．403B．6415C．13615D．315二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)6．在平面直角坐标系内有两点A(1，1)，B(2，3)，若一次函数y＝kx＋2的图像与线段AB有公共点，则k的取值范围为___________．7．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F．若BDBC＝25，AEAD＝12，则AFAC＝_______．8．设x1，x2，x3，…，xn是n个互不相同的正整数，且x1＋x2＋x3＋…＋xn＝2017，则n的最大值是_______．DICABFEDBCA29．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若OACE＝5，则AEAB＝____．10．若正整数x，y，z满足方程组x3－y3－z3＝3xyzx2＝7(y＋z)，则xyz的最大值为______．三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11．若关于x的方程x2－(a－3)x＋a－2＝0有两个不相等的整数根，求a的值．12．如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆．点E，F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点．求证：(1)AC垂直平分线段HE；(2)DE＝AB．13．对于整数n≥3，用φ(n)表示所有小于n的素数的乘积．求满足条件φ(n)＝22n－32的所有正整数n．14．在一个m×n(m行，n列，m＞1)的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：(1)每一列所填的数都是1，2，3，…，m的一个排列；(即在每一列中，1，2，3，…，m这m个数出现且仅出现1次)(2)每一行n个的数和都是34，当上述的填数方式存在时，求(m，n)的所有可能取值．ECAOBDFEOHBCA