2016年《南方新课堂・高考总复习》数学(理科) 第三章 第3讲 三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR图象值域[－1,1]________R2．三角函数的图象和性质[－1,1]|,2xxkkZ函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性周期2π2π______（续表）对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)无对称轴对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称中心：kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)π函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性奇偶性奇________奇（续表）单调递增区间2,222kk(k∈Z)；单调递减区间32,222kk(k∈Z)单调递增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调递减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调递增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)偶2．使cosx＝1－m有意义的m值为(A．m≥0C．0≤m≤2B．m≤0D．－2≤m≤01．(2013年江苏)函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为_____.)πC3．(2013年上海)既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的函数是()BA．y＝sinxC．y＝sin2xB．y＝cosxD．y＝cos2x4．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为()BA.π4B.π2C．πD．2π考点1三角函数的奇偶性与周期性例1：函数y＝2cos2x－π4－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数答案：A【规律方法】求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般要先进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式进行求解.解析：y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π2＝sin2x为奇函数，T＝2π2＝π.【互动探究】1．已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．π解析：由f(x)＝(sinx－cosx)sinx＝sin2x－sinxcosx＝1－cos2x2－12sin2x＝－22sin2x＋π4＋12.∴最小正周期为π.考点2三角函数的对称性例2：(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是()A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12答案：A解析：(1)令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6(k∈Z)，令k＝0，得该函数的一条对称轴为x＝－π6.(2)函数y＝sin3x－π4的图象的一个对称中心是()A.－π12，0B.－7π12，0C.7π12，0D.11π12，0答案：B【规律方法】正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用.第(1)小题利用y＝cosx的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求,也可利用代入法验证；第(2)小题利用ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求解x.【互动探究】2．(2013年广东广州二模)若函数y＝cosωx(ω∈N*)的一个A．2C．6B．3D．9对称中心是π6，0，则ω的最小值为()B解析：将π6，0代入，得cosωπ6＝0，最小的ω＝3.考点3三角函数的单调性与最值例3：(2014年湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间(1)求实验室这一天上午8：00的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3×cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室这一天上午8：00的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t24，所以π3≤π12t＋π37π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当π12t＋π3＝π2，即t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当π12t＋π3＝3π2，即t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.【规律方法】本题主要考查函数y＝Asin(wx＋φ)的图象特征，正弦函数的值域与最值.解题关键在于将已知的函数表达式化为三角函数模型，再根据此三角函数模型的图象与性质进行解题即可.【互动探究】3．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求fπ3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3cosx－232－73，x∈R.∵cosx∈[－1,1]，∴当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝23时，f(x)取得最小值－73.解：(1)fπ3＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.●思想与方法●⊙三角函数中的分类讨论例题：已知函数f(x)＝2acos2x＋3asin2x＋a2(a∈R，a≠0且为常数)．(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；(2)若x∈R，f(x)的最大值等于4，求a的值．【规律方法】对于形如f(x)＝A＋Bsinx的函数，若B0时，f(x)的最大值是A＋B；若B0时，f(x)的最大值是A－B.(2)依题意，得a0，2a＋a2＋a＝4，或a0，－2a＋a2＋a＝4.解得a＝1或a＝1－172.∴a的取值为a＝1或a＝1－172.解：(1)由题意，得f(x)＝a(1＋cos2x)＋3asin2x＋a2＝2asin2x＋π6＋a2＋a，∴最小正周期为π.