20.1-第一型曲线积分-数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、第一型曲线积分的定义二、第一型曲线积分的计算§1第一型曲线积分数学分析第二十章曲线积分*点击以上标题可直接前往对应内容本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社上的连续函是定义在()fP设某物体的密度函数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(1,2,,).inn(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段i第一型曲线积分的定义§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算后退前进目录退出数.方法与定积分类似.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社()fP为i上的连续函数,故当的弧长都很小时,i(),iifP每一小段的质量可近似地等于其中i为小曲线段i的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式1().niiifPi.iP(2)近似求和：在每一个上任取一点由于§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社1max0iind(3)当对的分割越来越细密(即)时,由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质量一样,到的.§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算下面给出这类积分的定义.上述和式的极限就应是该物体的质量.也是通过“分割、近似求和、取极限”来得数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社定义1(1,2,,),iLin可求长度的小曲线段L在上的函数.,is为T1||||max,iinTs分割的细度为iL在上任取一点(,)(1,2,,).iiin若有极限||||01lim(,),niiiTifsJ为平面上可求长度的曲线段,L(,)fxy设为定义n,它把LTL做分割分成个对曲线§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算的弧长记iL数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社定义1J(,)iiT与点且的值与分割的取法无关,极限为(,)fxyL在上的第一型曲线积分,(,)d.Lfxys§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算为空间可求长曲线段,L(,,)fxyzL若为定义在上的函数,的第一型曲线积分,(,,)d.Lfxyzs(,,)fxyzL在空间曲线上则可类似地定义则称此记作并且记作数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.(1,2,,)icik(,)d(1,2,,)iLfxysik1.若存在,为常数,11(,)d(,)d.kkiiiiLLiicfxyscfxysL12,,,kLLL2.若曲线段由曲线首尾相接而成,(,)d(1,2,,)iLfxysik都存在,于是前面讲到的质量分布在曲线段L上的物体的质也存在,且1(,)d(,)d.ikLLifxysfxys1(,)dkiiLicfxys也存在,且则(,)dLfxys则§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社3．(,)d(,)dLLfxysgxys若与都存在,则(,)(,),fxygxy(,)d(,)d.LLfxysgxys4．(,)dLfxys若存在,|(,)d||(,)|d.LLfxysfxys且§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算L上且在也存在,(,)dLfxys则||数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社(,)dLfxys若L,s5．存在,的弧长为则存在常数(,)d,Lfxyscs,c使得inf(,)sup(,).LLfxycfxy这里6.第一型曲线积分的几何意义为LLOxy(,)fxy若为坐标平面上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社(,)d.LfxysyxzOL(,)zfxy201图z0(,)zfxy的部分的面积就是轴的柱面上截取由第一型曲线的定义,§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算L为准线,母线平行于易见以数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社定理20.1设有光滑曲线(),:[,],(),xtLtyt(,)fxyL为定义在上的连续函数,22(,)d((),())()()d.(3)LfxysftttttL1iitttt到证由弧长公式知道,上由的弧长122()()d.iititsttt第一型曲线积分的计算则§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社221()()().iiiiiiisttt221((),())()(),niiiiiift1(,)niiiifs所以1,.iiiitt这里22()()tt由的连续性与积分中值定理,有§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22(,)d((),())()()d(3)Lfxysfttttt数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社22221((),())[()()()()],niiiiiiiift则有1(,)niiiifs221((),())()().(4)niiiiiift设12max{,,,},ntttt令t0.§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22(,)d((),())()()d(3)Lfxysfttttt0,T则当时必有0lim0.t下面证明数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社因为复合函数((),())fttt关于连续,[,]间上有界,都有|((),())|.fttM,M[,]t使对一切即存在常数§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算所以在闭区22()()[,]tt在再由上连续,[,]上一致连续,使当时,t2222()()()(),iiii0,0,必存在即对任给的所以它在22221((),())[()()()()]niiiiiiiift数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社从而1||(),niiMtMba所以0lim0.t§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算2201lim((),())()()niiiiitift22((),())()()d.bafttttt因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.再由定积分定义22(,)d((),())()()d(3)Lfxysfttttt数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社[,]ab上有连续的导函数时,2(,)d(,())1()d;bLafxysfxxxx(),[,]yxxabL当曲线由方程表示,且在()x§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算22(,)d((),())()()d(3)Lfxysfttttt[,]cd上有连续导函数时,2(,)d((),)1()d.dLcfxysfyyyy(),[,]xyycd当曲线L由方程表示,且在()y(3)式成为(3)式成为数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社例1设L是半圆周cos,:0π,sin,xatLtyat试计算第一型曲线积分22()d.Lxys解22()dLxys§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算π22220(cossin)daattt3π.a数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社解220d1d4Lyysyy2322022(1)34y4(221).3例224(0,0)(1,2)LyxOA设是从到一段(图20-2),试计算第一型曲线积分d.LysOyx124yx202图A§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社(,,)dLfxyzs222((),(),())()()()d.(7)fttttttt其计算公式为由参仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线L量方程(),(),(),[,]xtytztt表示时,§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社2d,LxsL2222xyza例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.0xyz解由对称性知222ddd,LLLxsyszs所以2dLxs§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算2221=()d3Lxyzs2d3Las32π.3a数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社4433(+)d,LxyxysL*例4计算其中为内摆线434433.xya解由对称性知dd0,LLxsys4433ddLLxsys其中1(,),,0.LxyLxy§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算143=4d,Lxs33cos,sin,0,.2xatyatt而内摆线的参数方程为数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社4433(+)dLxyxys443208cos3sincosdtatatt因此§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算438dLxs734.a33cos,sin,0,2xatyatt数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,0.8AA它的面积为Oxy把平面上的222xya位于第一象限的四分在第一卦限部分220zax的那部分柱面.包围部分的面积A.222xya222yza被圆柱面所*例5求圆柱面yxzO222xya0A203图则被围柱面,L之一圆周记为为准线母线平行于z轴的§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算正是以曲线L数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社220ds.LAax由第一型曲面积分的几何意义可知它的面积为L的参数方程为:cos,sin,0.2xatyatt220dsLAax220sindtat因此,2088.AAayxzO222xya0A203图§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算220=1-cosdtata2.a数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社曲线状物体对于x,y轴的转动惯量分别为注由第一型曲线积分的定义,线密度为(,)xy的2(,)dxLIyxys2(,)dyLIxxys和例6求线密度为2(,)1yxyx的曲线段:ln,12Lyxx对于y轴的转动惯量.22d1yLxyIsx22212ln11d1xxxxx解21lndxxx§1第一型曲线积分第一型曲线积分的定义第一型曲线积分的计算3ln4.4数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社复习思考题(,)fxyL1.若在光滑曲线上连续,是否一定存在其中s是曲线L