20.2-第二型曲线积分-数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的计算§2第二型曲线积分数学分析第二十章曲线积分*点击以上标题可直接前往对应内容第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.三、两类曲线积分的联系数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题.例如一质点受力(,)Fxy的作用沿平面曲线L从点A移动到点B,20-2.202图OyxAM0()(,)xyM1M2nM1nBM()FLPQ后退前进目录退出§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系(,)Fxy所作的功,见图求力数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社AB1n121,,,nMMM为此在曲线内插入个分点0,nAMBM它们与AB一起把有向曲线分成n个有向小曲线段1(1,2,,).iiMMin若记小曲线1||||max.iinTs(,)Fxyxy轴和设力在轴方向的投影分别为(,)(,),PxyQxy与那么(,)((,),(,)).FxyPxyQxy则分割的细度为T1iiMM,is的弧长为段§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系1iiMMxy轴和又设小曲线段在轴上的投影分别为11,iiiiiixxxyyy与数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社11(,)iixy1iiMM与分别为点的坐标.1(,),iiMMiiLxy(,)Fxy1iiMM于是力在小曲线段上所作的功iW(,)ii1iiMM其中为小曲线段上任一点.§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系记其中(,)iixy与111(,)(,).nnniiiiiiiiiiWWPxQy(,)FxyAB沿曲线所作的功近似地等于因而力当细度||||0T时,上式右边和式的极限就应该是所求的功.这种类型的和式极限就是第二型曲线积分.1(,)(,)(,),iiiiMMiiiiiiFLPxQy数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社定义1设函数(,)(,)PxyQxy与定义在平面有向可求长度:LAB曲线上.曲线段1(1,2,,),iiMMin§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系0,.nMAMB其中1iiMM记个小曲线段的弧长为分割的细度,isT1||||max.iinTsT又设的分点1,iiixxx1,(1,2,,).iiiyyyiniM的坐标为并记(,),iixyL,TL的任一分割它把分成n个小对数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社定义11iiMM(,),ii在每个小曲线段上任取一点若极限||||0||||011lim(,)lim(,)nniiiiiiTTiiPxQy存在且与分割T与点(,)ii的取法无关,限为函数(,),(,)PxyQxy沿有向曲线L上的第二型§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系曲线积分,(,)d(,)dLPxyxQxyy(,)d(,)d(1)ABPxyxQxyy或记为则称此极数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社定义1(,)d(,)dLLPxyxQxyy(,)d(,)dABABPxyxQxyy上述积分(1)也可写作或§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系为书写简洁起见,(1)式常简写成ddLPxQydd.ABPxQy或数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社式可写成向量形式dd.(2)LPxQy若L为封闭的有向曲线,若记(,)((,),(,)),d(d,d),FxyPxyQxysxy则(1)dLFsd.(3)ABFs或于是,力(,)((,),(,))FxyPxyQxy沿有向曲线§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系:LAB对质点所作的功为(,)d(,)d.LWPxyxQxyy则记为数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社(,,),Pxyz(,,),Qxyz若L为空间有向可求长曲线,(,,)Rxyz为定义在L上的函数,似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,并记为(,,)d(,,)d(,,)d,(4)LPxyzxQxyzyRxyzz或简写成§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系ddd.LPxQyRz则可按上述办法类数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社(,)((,),(,),(,))FxyPxyQxyRxy与d(d,d,d)sxyz当把看作三维向量时,第二型曲线积分与曲线L的方向有关.当方向由A到B改为由B到A时,方向改变,从而所得的,iixy也随之改变符号,§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系有dddd.(5)ABBAPxQyPxQy对同一曲线,故(4)式也可表示成(3)式的向量形式.每一小曲线段的数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社而第一型曲线积分的被积表达式只是函数(,)fxy与弧长的乘积,曲线积分的一个重要区别.类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下一些主要性质:1．dd(1,2,,)iiLPxQyik若存在，§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系11()d()dkkiiiiLiicPxcQy也存在,111()d()d(dd);kkkiiiiiiiLLiiicPxcQycPxQy这是两种类型它与曲线L的方向无关.则且数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社L12,,,kLLL2.若有向曲线由有向曲线首尾衔接而成,dd,(1,,)iLPxQyik都存在,1dddd.ikLLiPxQyPxQyddLPxQy也存在,且§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系则数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线(),:[,],(),xtLtyt其中(),()[,]tt在上具有一阶连续导函数,AB与((),())((),()).与点的坐标分别为§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系且数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社AB从到的第二型曲线积分(,)d(,)dLPxyxQxyy[((),())()((),())()]d.(6)PtttQtttt(,)d((),())()d,LPxyxPtttt(,)d((),())()d,LQxyxQtttt读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明由此便可得公式(6).§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系又设(,)(,)PxyQxyL与为上的连续函数,则沿L数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社在L上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前进,最后回到这一点.203图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C例1计算d()d,Lxyxyxy其中L分别沿图20-3中的路线:(i)直线段;AB(ii)22(1)1;ACByx抛物线:(iii)ADBA(三角形周界).§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算,可数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社解(i)直线L的参数方程为1,[0,1].12,xttyt故由公式(6)可得d()dABxyxyxy10[(1)(12)2]dtttt12025(152)d.6ttt§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系203图Oyx1A(1,1)B(2,3)23123D(2,1)C数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社d()dACBxyxyxy2221{[2(1)1][2(1)1]4(1)}dxxxxxx232110(10323512)d.3xxxx(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段加即可得到所求之曲线积分.所以的性质2,分别求沿上的线积分然后相,,ADDBBA§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系ACB22(1)1,12,yxx(ii)曲线为抛物线数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社d()dADxyxyxy沿直线:2,(13)DBxyyy的线积分为d()dDBxyxyxyd()dBAxyxyxy所以d()dLxyxyxy沿直线的线积分可由(i)及公式(5)得到BA§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系由于沿直线:,1(12)ADxxyx的线积分为25=d()d.6ABxyxyxydADxyx213d2xx()dDByxy31(2)d0.yy32580.263数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社120[(4)2]dxxxx12066d2.3xxddLxyyx解(i)例2计算dd,Lxyyx这里L为(i)沿抛物线22,yxOB从到的一段(图20-4);(ii)沿直线:2;OByx(iii)沿封闭曲线.OABO204图Oy(1,2)B1(1,0)A2x§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系142.2ddLxyyx(ii)10(22)dxxx数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社(iii)在OA一段上,0,01;yxAB在一段上,1,02;xy10xx到的一段.ddOAxyyxddABxyyx§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系所以dddd2.BOOBxyyxxyyx(见(ii))2yx从一段上与(ii)一样是BO在100d0,x201d2,yddLxyyx因此ddOAABBOxyyx0220.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与(6)式相仿.(),:(),,(),xxtLyyttzzt§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系设空间有向光滑曲线L的参量方程为((),(),()),xyz((),(),()),xyz起点为终点为则dddLPxQyRz[((),(),())()((),(),())()PxtytztxtQxtytztyt((),(),())()]d.(7)Rxtytztztt这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系2d()dd,LIxyxxyyxzcos,sin,xatyatzbt0t从到L是螺旋线:例3计算第二型曲线积分πt上的一段.解由公式(7),π32222220(cossincossincoscos)dIattatattabtt3332201111sinsi