二次函数最大面积习题及答案

1如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（D）A.B.6mC.25mD.2在底边长BC=20cm，高AM=12cm的三角形铁板ABC上，要截一块矩形铁板EFGH，如图所示．当矩形的边EF=cm时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为cm²．设EF=MN=X，则AN=12-X，∵EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴ΔAEH∽ΔABC，∴AN/AM=EH/BC，∴(12-X)/12=EH/20，EH=5/3(12-X)，∴S矩形=X*5/3(12-X)=-5/3(X²-12X)=-5/3［(X-6)²-36］=-5/3(X-6)²+60。即当X=6时，S最大=60。3如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向正式开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为Scm.解答下列问题：(1)当t=3s时，求S的值；(2)当t=5s时，求S的值；(3)当5s≤t≤8s，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．解：(1)s=(cm2)(2)当t=5s时，CR=3，设PR与DC交于点G，过点P作P⊥l于E点，由△RCQ∽△REP→S△ROG=S=12-=(cm2)(3)当5s≤t≤8s时，QB=t-5,RC=8-t.设PQ交AB于点H．由△QBH∽△QEP→S△QBH=（t-5）2．由△RCG∽△REP→S△ROG=（8-t）2．∴S=12-(t-5)2-（8-t）2即S=-t+t-．当t=时，s最大，最大值为(cm2)．4星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围解：（1）设y=30-2x（6≤x＜15）；（2）设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x（30-2x）=-2x2+30x，∴S=-2（x-7.5）2+112.5，由（1）知，6≤x＜15，∴当x=7.5时，S最大值=112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5；（3）6≤x≤11。5如图,在Rt三角形ABC中,角C=90°,AC=8m,BC=6m,点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动。（1）经过多少秒△PCQ的面积为△ACB的面积的1/3？（2）经过几秒，△OCQ与△ACB相似？（3）如图，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由。设运动时间为t秒PC=2t,CQ=BC-BQ=6-t1)1/2*2t*(6-t)=1/3*1/2*8*6t²-6t+8=0t=2,t=4因此，经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的1/32)CQ/PC=BC/AC(6-t)/t=6/8t=24/7CQ/PC=AC/BC(6-t)/t=8/6t=18/7因此，经过24/7秒或18/7秒，△OCQ与△ACB相似3)有可能。AB=√(AC²+BC²)=10∵CD为△ACB的中线∴∠ACD=∠A,∠BCD=∠B又，PQ⊥CD∴∠CPQ=∠BCQ/PC=AC/BC(6-t)/t=8/6t=18/7因此，经过18/7秒，PQ⊥CD6（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒35个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；7如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；(3)连接MB,MC,问M坐标为多少时，三角形MBC的面积最大，最大面积是多少解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；8．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得=5cm．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，，即，解得t=；②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，∴，即，∴PH=t，∴S=S△ABC-S△BPH，=×3×4-×（3-t）•t，=（t-）2+（0＜t＜2.5）．∵＞0，∴S有最小值．当t=时，S最小值=．答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．10加试题：(10分)设方程0)2443()1(2222babaxax有实根，求ba,的值。解：∵方程有实根∴0)2()1()2443(4)]1(2[22222baababaa∴0)2()1(22baa∴只有：0)1(2a和0)2(2ba∴1a，21b。练习1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51(2014深圳中考)20.已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC，（1）证明ABDF是平行四边形（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长考点：平行四边形的判定解析：（1）证明：∵BD垂直平分AC∴BA=BC,DA=DC∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA∴∠BAD=∠BCD又∵∠BCD=∠ADF∴∠BAD=∠ADF∴AB∥FD又∵AF⊥AC，BD⊥AC∴AF∥BD∴ABDF是平行四边形（2）解:设BG=X,DG=5-X,依题意可得：AB2-BG2=AD2-DG252-X2=62-(5-X)2解得：x=7/5AG2=52-X2AG=8√70/5AC=16√70/5220．（8分）（2013•深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE．（1）求证：BD=DE．（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∴BD=DE．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=3，AC∥DE，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∵BD=DE，∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=（BC+CE）•DF=（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16，∴BD=4，∴BE=BD=8，∴DF=BF=EF=BE=4，∴CF=EF﹣CE=1，∴AB=CD==．3（3分）（2013•深圳）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（D）A．8或B．10或C．10或D．8或4．（本题9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总费用y（元）与x（台）的函数关系式；（2）要使总费用不高于20200元，请你帮忙该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？5如图4，已知：MON30，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，ABA112、ABA223、ABA334……均为等边三角形，若OA11，则ABA667的边长为（）A．6B．12C．32D．646（08）．观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a+b的值为0123…1357…25811…371115…出发地目的地甲地乙地A馆800元∕台700元∕台B馆500元∕台600元∕台表1出发地目的地甲地乙地A馆x（台）_______（台）B馆_______（台）_______（台）表2图4NMB3B2B1A4A3A2A1O表一表二表三7(2012甘肃兰州)如图，M为双曲线y＝3x上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y＝－x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为．求k=……………1114a111317b