高一数学平面上两点间的距离2

平面上两点间的距离【学习导航】知识网络学习要求1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．【课堂互动】自学评价（1）平面上两点111222(,),(,)PxyPxy之间的距离公式为12PP222121()()xxyy．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)PxyPxy，线段12PP的中点是00(,)Mxy，则12012022xxxyyy．【精典范例】例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．【解】(1)由两点间距离公式得AB=22[2(1)](53)13(2)由两点间距离公式得22(0)(510)17a,解得a=8．故所求实数a的值为8或-8．例2：已知三角形ABC的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22ABC，试判断ABC的形状．分析：计算三边的长，可得直角三角形．【解】22(1(1))02,AB2213(1)(0)1,22BC2213((1))(0)322AC,111222(,),(,)PxyPxy中点坐标1212(,)22xxyy22122121()()PPxxyy222121()()xxyy222121()()xxyy∵222ACBCAB，∴ABC为直角三角形.点评：本题方法多样，也可利用BC、AC斜率乘积为-1，得到两直线垂直.例3：已知ABC的顶点坐标为(1,5),A(2,1),(4,7)BC，求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程．分析：由中点公式可求出BC中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出AM的长和AM所在的直线方程．【解】如图，设点(,)xy．∵点M是线段BC的中点，∴241,2x1732y，即M的坐标为(1,3)．由两点间的距离公式得22[1(1)](35)22AM．因此，BC边上的中线AM的长为22．由两点式得中线AM所在的直线方程为315311yx，即40xy．点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.例4．已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AMBC．证：如图，以RtABC的直角边,ABAC所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，设,BC两点的坐标分别为(,),(0,)boc，∵M是BC的中点，∴点M的坐标为00(,)22bc，即(,)22bc．由两点间的距离公式得22221(0)(0),222bcAMbc所以，12AMBC．追踪训练一1.式子22(1)(2)ab可以理解为(B)()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离()C两点(a,b)与(1,2)间的距离()D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离2.以A(3,-1),B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为(C)()A2x+y-5=0()B2x+y+6=0()Cx-2y=0()Dx-2y-8=03.线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是(6,7)．4．已知点(2,3),A，若点P在直线70xy上，求取最小值．解:设P点坐标为(,)Pxy,∵P在直线70xy上，∴7yx，22222(2)(4)212202(3)2APxxxxx，∴AP的最小值为2．【选修延伸】对称性问题例5:已知直线1:12lyx，（1）求点(3,4)P关于l对称的点Q；（2）求l关于点(2,3)对称的直线方程．分析：由直线l垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．【解】（1）设Q0(,)oxy，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，有00004234311222yxyx，解得0029585xy∴Q298(,)55（2）在l上任取一点，如(0,1)M，则M关于点(2,3)对称的点为(4,7)N．∵所求直线过点N且与l平行，∴方程为17(4)2yx，即2100xy．例6：一条光线经过点(2,3)P,射在直线10xy上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10xy的对称点．【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10xy对称，设P点关于直线10xy对称点的坐标为Q00(,)xy，因此PQ的中点在直线10xy上，且PQ所在直线与直线10xy垂直，所以00003(1)12231022yxxy，解得(4,3)Q．反射光线经过AQ、两点，∴反射线所在直线的方程为4510xy．由10,4510,xyxy得反射点21(,)33R．入射光线经过P、R两点，∴入射线所在直线的方程为0145yx．点评:求点P关于直线l的对称点Q，通常都是根据直线PQ垂直于直线l，以及线段PQ的中点在直线l上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点Q的坐标．思维点拔：平面上两点111222(,),(,)PxyPxy间的距离公式为222121()()xxyy，线段12PP中点坐标为1212(,)22xxyy.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.追踪训练二1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为(A)()A(1,4)()B(-1,4)()C(1,-4)()D(-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为320xy．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D点的坐标,使四边形ABCD为等腰梯形．答案:D点的坐标为(2,3)或163(,)55．4．已知定点(2,2)A，(8,4)B，xR，求2222(2)2(8)4xx的最小值．(数形结合:将2222(2)2(8)4xx看成是x轴上的动点(,0)x与,AB两点的距离和,利用对称性,得到最小值为62).平面上两点间的距离分层训练1.若(4,2)64126ABC、（，）、（，）、D212（，），则下面四个结论：①//ABCD；②ABCD；③ACBD；④ACBD．其中，正确的个数是()(A)１个.(B)2个.(C)3个.(D)4个.2.点(2,3)P关于点(4,1)M的对称点Q的坐标是()(A)(3,1)(B)(1,2)(C)(6,5)(D)(2,4)3.若过点(0,2)B的直线交x轴于点A点，且||4AB，则直线AB的方程为（）(A)1223xy(B)1223xy(C)11222323xyxy或(D)11222323xyxy或－4.直线34yx关于点(2,1)P对称的直线l的方程是（）(A)310yx(B)318yx(C)34yx(D)43yx.5.如果直线2yax与直线3yxb关于直线yx对称，那么（）(A)1,63ab(B)1,63ab(C)3,2ab(D)3,6ab.6.若直线l在y轴上的截距为－2，l上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线l的方程为．7.已知ABC的三个顶点(2,8)A，(4,0)B，(6,0)C，则AB边上的中线CD所在直线的方程为．8.若直线l过点(3,2)P，且被坐标轴截得的线段的中点恰为P，则直线l的方程是．9.若点PQ、的横坐标分别为12,xx,直线PQ的斜率为k，则PQ．10.已知直线:26lyx和点(1,1)A，过点A作直线1l与直线l相交于B点，且5AB，求直线1l的方程．11.过点(3,0)P作直线l，使它被直线1:230lxy和2:30lxy所截得的线段恰好被P平分，求直线l的方程．.拓展延伸12.(1)已知点(1,3)A，(3,1)B，在x轴上求一点P，使得PAPB最小；(2)已知点(1,3)M，(5,2)N，在x轴上求一点P，使得||PMPN最大，并求最大值．13.求函数2222413yxxxx的最小值及相应的x值．