mosfet可靠性2

§§2.32.3集成电路工艺模拟的数值计算集成电路工艺模拟的数值计算2.3.12.3.1数值计算概述数值计算概述2.3.22.3.2空间离散化空间离散化——栅格划分栅格划分2.3.32.3.3驻留界面热加工过程的数值计算驻留界面热加工过程的数值计算2.3.42.3.4界面移动热加工过程的数值计算界面移动热加工过程的数值计算2.3.12.3.1数值计算概述数值计算概述集成电路工艺分为低温工艺和高温工艺两类。低温工艺的加工过程（如离子注入）所引起的结构和掺杂状况的改变，可以通过模型公式的代值直接获得，无需求解微分方程。因此，对低温工艺加工过程的模拟计算这里不作讨论。本节讨论的重点是高温过程的模拟计算，计算中涉及扩散方程的数值求解以及对界面移动引起空间栅格改变的处理，这些都是数值计算中很具特色的问题。对高温加工过程做工艺模拟，就是根据工艺模型和描述氧化扩散过程的基本方程，利用数值技术，定量地计算出硅片结构和杂质分布的近似结果。在热加工过程中，结构和掺杂都发生了变化：硅表面生长了SiO2层，离子注入的硼在SiO2/Si界面处由于有杂质分凝界面流，使得约有65%硼杂质分布在SiO2之中，分布在硅中的硼杂质也因为高温推进而向硅体内深入。热加工过程中，杂质的空间分布将随时间改变。下面给出的例子可以示意说明这个变化过程：在考察的初始时刻，t=t0，硼杂质分布是在能量为65KeV、剂量为5×1012cm-2的离子注入分布剖面。从t=t0时刻开始的热加工过程是：先经过1000°C，10min的干氧氧化，再经过1000°C，73min的湿氧氧化。氧化推进过程中杂质硼的空间分布随时间变化的示意图此例中，初始条件的确定比较简单：依据硼的离子注入模型（如PearsonIV）和注入能量、剂量，不难计算出t=t0时杂质的空间分布C(x)。对高温过程数值计算的求解就是根据t=t0时的初始分布和杂质连续性方程：)]()([),(1221xFxFdtxxdQ−−=求解出不同时刻的杂质空间分布。上式中略去了杂质扩散的产生损失项，因为对产生损失效应的处理可以包括在有效的扩散系数之中。Q(x1,x2)是一维区间[x1,x2]中的杂质总量，有：∫=2121)(),(xxdxxCxxQ当Δx(即x2-x1)很小时，有：xxCxCxxQΔ+=2)()(),(2121F(x1)和F(x2)分别是x1和x2处的杂质流面密度。如果是扩散杂质流，可以由Fick第一定律得到：21)]()([)()]()([)(21xDxDxCxDdxdxFxCxDdxdxF−=−=FD(x)表达式中，考虑了掺杂浓度C对扩散系数D的影响，其关系为：)(CDD=D(C)可以采用前面所讲的扩散工艺模型进行计算。（1）对所要计算的整个空间做空间离散化，得到一组杂质流连续性方程；（2）再对所要计算的整个时间范围做时间离散化，用向后欧拉法或梯形法完成数值求解；数值求解过程：通过（1）和（2），便可得到具有一定数值精度的杂质空间分布随时间的变化关系。空间离散化中，栅格的划分可以均匀的，也可以是不均匀的，但离散单元及节点要满足下述两个约束条件，这两个约束条件将给数值计算带来很大方便：1）多层结构的界面上必须有节点。在所要计算区间的其它部分，节点的选取具有任意性，但在层间交界处的实体界面上必须有节点。2）单元的边界在两个相邻节点的等分处。例如，单元5和单元6的边界在x5.5处，满足x5.5=(x5+x6)/2。)(2112)1(++++=iiiixxx2.3.22.3.2空间离散化空间离散化——栅格划分栅格划分一、空间离散化规则{}nixxLxi,10,,],0[L=∈⇒∈做空间离散化：杂质空间分布离散化示意图二、多层结构描述（1）层结构及其界面如果用n作为每层的标志，由半导体内向表面各层的序号为n=1，2，3，…，并规定：NSPC(n)为第n层离散化的单元数；BTM(n)为第n层底部的节点号或单元号；TOP(n)为第n层顶部的节点号或单元号。显然有：1)(TOP)(BTM)(NSPC+−=nnn1)(TOP)1(BTM−=+nn多层结构栅格划分示意图BTM(1)=500，TOP(1)=492；BTM(2)=491，TOP(2)=485；BTM(3)=484，TOP(3)=480。NSPC(1)=9，NSPC(2)=7，NSPC(3)=5。上图中：（2）节点位置和节点间距规定：DST(i)表示第i个单元的右边界至节点i所在层的上表面的距离；DLT(i)表示节点i与节点i+1之间的距离；规定DLT[BTM(n)]=0，即BTM(n)与TOP(n-1)虽是编号相邻的两个节点，但物理上所指的却是同一节点-界面节点。这样编号的目的是易于表示界面两侧不连续的两个杂质浓度。节点与单元边界的管理仍遵循：两层之间的界面上必须有节点；单元边界一定在两相邻节点的等分处，则第i个节点到所在层上表面的距离为：)(DLT21)(DSTii−三、栅格划分在空间离散化中，通常采用不等分栅格或不均匀单元划分，目的是既可保证重点区域有足够高的空间精度，又不致于使模拟分析的计算量过大。所谓抛物线渐变栅格划分是指如果以相邻二节点间距Δxn为纵坐标，以均匀分布的节点序号n为横坐标，Δxn~n关系图中所有点将在一条抛物线上。SUPPERM采用抛物线渐变栅格划分方案实现不等分栅格的划分。常用的不等分栅格划分方法主要有两种：（1）线性渐变栅格划分方法(Δxn=an+b)（2）抛物线渐变栅格划分方法。如果给定第一个节点间距Δx1和昀后一个节点间距的取值ΔxN，以及栅格划分的空间thickness=L，划分单元数space=N，那么只要求出系数a、b、c的值，就可以完成抛物线渐变栅格划分。利用上述约束条件可以建立一个关于系数a、b、c的方程组：)(,N11221∑==++=Δ=++=Δ=++NnNLcbnanNnxcbNanxcba此方程组有唯一解。（式2-60）Δxn~n关系图上所有点应满足方程：cbnanxn++=Δ2SUPPERM在上述抛物线渐变栅格划分方案的基础上加以改进，使其更具有普遍性。主要有两个方面的改进措施：第一，初始化语句规定的空间离散化精度dx可以在某一层的中间，不一定限制在层的底部或顶部；第二，初始化语句只给出一个dx，没有限定另一端的节点间距。显然这样的初始化语句更具有普遍性，但按这样的条件进行抛物线渐变栅格划分处理要复杂一些。在SUPPERM输入文件的Initialize语句中，thickness、dx、xdx、space是抛物线渐变栅格的特征参数。例如，输入语句：Initializethickness=2.0μm,dx=0.05μm,xdx=0.5μm,space=20初始化语句的物理意义标在上图中，在厚度thickness=2.0μm的层中，一共划分20个单元，以xdx=0.5μm处为分界，两侧近邻的两节点间距都是dx=0.05μm，显然，远离xdx处的单元尺寸要大于dx，否则单元总数将超过space=20个，可以通过如下抛物线渐变的栅格划分来达到这一要求：不等分栅格划分示意图在厚度为thickness=L的层内，以xdx=M为界分为I区和II区，在两个区中分别划分I1和I2个单元，满足I1+I2=space=N。在确定I1、I2和ΔxF、ΔxL时，假设栅格间距Δx随距离x有线性关系，并且在I区和II区中Δx~x变化斜率的绝对值相等，ΔxF和ΔxL分别为I区和II区端部节点间距。因此可以建立下列方程组：NIIMLdxxIMdxxIMLdxxMdxxLFLF=+−=+Δ=+Δ−−Δ=−Δ212122（式2-61）上式中，L、M、N、dx为初始化给出的已知量；I1、I2、ΔxF、ΔxL待求，方程有唯一解。利用解出的I1、ΔxF和已知的dx、xdx=M，代入式（2-60），可以求出a1、b1、c1，完成对I区的抛物线渐变栅格划分；将解出的I2、ΔxL和已知的dx、thickness-xdx=L-M，代入式（2-60），求出a2、b2、c2，完成对II区的抛物线渐变栅格划分。在方程组（2-61）中，利用了Δx与x有线性关系的假设，便于计算出适当的ΔxF、ΔxL，保证两个区的抛物线渐变栅格由xdx处向两侧单调变化。Δxn~xn的线性关系与Δxn~n的关系并不完全等价。这一点可以由以下的讨论得到证明。如果假设Δxn~xn有线性关系，斜率为k，并令x1=0，Δx1=a为已知量，则可以建立方程组：∑−=Δ=+=Δ11niinnnxxkxax当n=1时：axx=Δ=11,0当n=2时：)1(,222kakxaxax+=+=Δ=当n=3时：)1(213kaaxxx++=Δ+Δ=233)1(kakxax+=+=Δ……1)1(−+=Δnnkax因此，可以得到：因此，当|k|1/n时，有：)1()23(2]2)2)(1()1(1[22222+−+−+=−−+−+≈Δkkankkanakknnknaxn根据高等数学知识：当m0，|x|≤1时，二项式的幂级数展开式为：LLL++−−++−−+−++=+nmxnnmmmxmmmxmmmxx!)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32可以看出：Δxn与n有近似的抛物线关系，即：Δxn~xn线性关系在一定条件下与Δxn~n抛物线关系近似等价。抛物线渐变栅格划分示意图（纵坐标：Δxn；下横坐标：n，均匀分布；上横坐标：xn，非均匀分布）2.3.3驻留界面热加工过程的数值计算驻留界面扩散过程的特点是：二氧化硅层的厚度不再增加，SiO2/Si界面的位置保持不变。因此，在模拟计算的整个时间[0,T]范围内，可以不改变空间离散化的栅格划分。],0[Tt∈驻留界面热加工过程的模拟计算比较简单，对它们的分析有助于对界面移动热加工等复杂过程的处理。在求解扩散方程时，昀为简单的条件是驻留界面的情况，它对应于非氧化条件或者中性气氛条件下的热加工过程，例如，在氮气气氛中的杂质推进就属于这种情况。如果t时刻杂质的空间分布是已知的，它的分布函数除界面处外，是连续函数C(x)，用虚线所示。数值计算需要做空间离散化，把所要计算的整个空间划分成若干单元，在第i个单元中取x=xi处为节点，当单元尺寸足够小时，可以假设第i个单元的杂质是均匀分布的，并有Ci=C(xi)。因此，离散化后的杂质浓度分布不再是连续函数，而是阶跃形式，用实线表示。杂质空间分布离散化示意图一、离散化的杂质扩散方程根据FiCK第一定律，并用差分形式替代FD(x)的微分形式，得到：1115.0115.0−−−−+++Δ−−=Δ−−=iiiiiiiiiiiixCDCDFxCDCDF对于第i个单元，离散化后的杂质流连续性方程为：][5.05.0−+−−=iiiFFdtdQ式中的Δxi=xi+1-xi。由于离散化单元的尺寸一般都很小，可以认为：21iiiixxCQΔ+Δ=−杂质空间离散化示意图中有三个含有界面的单元具有特殊性，这三个单元是第1单元、第4单元和第10单元。™第1单元按照空间离散化规则，多层结构的界面必须有节点。对于第1单元来说，节点x1必须选在实体界面上，此界面又是单元的边界，所以第1单元只是半个。杂质流连续性方程为：)]0([5.11sFFdtdQ−−=其中FS(0)是已知的边界条件，由于表面单元的界面是与气氛环境的交界，FS(0)可按前面所讲的表面杂质流模型进行计算。杂质空间分布离散化示意图™第4单元在这个单元中含有SiO2/Si界面。由于界面上杂质浓度不连续，所以在节点4上杂质浓度有两个值：左半单元SiO2中的C4ox和右半单元Si中的C4Si。由于在SiO2/Si界面处有界面杂质流，因此需要把第4单元分成左右两半处理，即：][][5.4Si45.3ox4ssFFdtdQFFdtdQ−−=−−=上式中，Fs根据界面杂质流模型计算：]/[Si4ox4mCChFs−=™第10单元该单元在硅体内深部，是整个模拟计算的终端。在求解这个单元的杂质流连续性方程时，如果按一般单元处理，将涉及到下一个节点的杂质浓度，而求解下一个节点的杂质浓度又要再向深部扩展一个单