格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用

Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用目录一、引言.........................................1二、格林（Green）公式的应用......................1（一）格林公式的定义.............................11、单连通区域的概念............................12、区域的边界曲线的正向规定....................13、陈述........................................1(二)格林公式的物理原型............................21、物理原型....................................22、计算方法...................................2（三）格林公式与GPS面积测量仪....................31.应用曲线积分计算平面区域面积.................32.GPS面积测量仪的数学原理......................43.实验结果.....................................54.进一步讨论...................................5（四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场61.扰动重力位的地面边值问题.....................62.地面边值问题的格林公式表示...................6三、Stokes公式的应用.............................8（一）Stokes公式简介.............................8（二）环量与环量密度..............................9（三）环量的应用..................................91.开尔文定理...................................92.开尔文定理的推论............................103.升力........................................10（四）旋度.......................................11（五）旋度的应用................................121.平面矢量场的旋度...........................122.环流量是区域S内有无漩涡的量度..............123.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度..............134.空间矢量场的旋度............................14四、Gauss公式的应用.............................161、数学中的高斯公式..........................162、保守场的推导..............................173、高斯公式在电场中的运用....................174、高斯定理在万有引力场中的应用..............195.高斯公式推证阿基米德浮力定律................216.高斯公式推证静电场中的高斯定理..............227.高斯公式与散度..............................24五、结语........................................25六、参考文献....................................261一、引言格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们有很强的物理意义即建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，因此它们有许多重要的应用，在数学上它们主要用来简化某些多元函数积分的运算，而在其他各个专业领域它们也有很多重要的应用。接下来将一一介绍它们在不同专业中的应用。二、格林（Green）公式的应用（一）格林公式的定义Green公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系。1、单连通区域的概念设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域；否则称为复连通区域.通俗地讲，单连通区域是不含洞(包括点洞)与裂缝的区域.2、区域的边界曲线的正向规定设L是平面区域D的边界曲线，规定L的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，平面区域(也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边.简言之：区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。3、陈述设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数yxQyxP,,及在D上具有一阶连续偏导数，则有(1)LDQdyPdxyQxP其中L是D的取正向的边界曲线.公式⑴叫做格林(green）公式.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛[1].2(二)格林公式的物理原型在工科的“高等数学”教材中,格林公式这部分都是先给出定理,然后加以证明、应用。讲这部分内容时,总有学生询问同一问题,即人们怎样想到这个公式,怎样想到曲线积分与重积分会有这样的数值上的联系?能否将格林公式的来源即物理原型加入教材呢?在教学中,试着加入这部分内容，并对公式作了简单的符号记法,简化了公式,降底了出错率,并对应用总结了几个类型。多年的实践证明,效果是很好的,下面就将加入的内容介绍如下[2]:1、物理原型在流体物理学中,称满足下述三个条件的“流速场”为“平面稳定流动”。（1）场中每一点的速度都不随时间改变,只是位t的函数即jyxQiyxPV),(),(（2）所论流体介于两个互相平行的平面之间(为方便,不妨设平面间距离为l个单位)其中之一称为底面(往往底面即为xoy坐标面)。（3）垂宜于底面的直线上的各点流速相等,并平行于底面。在这种“平面稳定流动”中,我们来计算单位时间内流过曲线C的流体体积即流t密度(其实是流过以C为准线、高为l的柱体的流体体积;简单用面积表示)其中C是平面上一个闭的、无重点,光滑曲线。无重点,是指曲线)(),(tYtX,当))(),(())(),((221121tttttt与时，点总是相异的。2、计算方法（1）在C上任取一小段弧线△S,在△t时间内流过△S的流体面积,近似于一个平行四边形的面积,它的一个边长是△S另一个相邻边长是流程tV因此面积为tnVsnVtVs)()cos(其中n是C的单位法向量单位时间内流体面积为：snV由曲线积分定义有总的流体面cos,cos;0nCldsnVl的全长，设为则dsQPl0coscos设l为点(x,y)处的切线，与x轴夹角coscos,sincosQdxPdydsQPl0cossin3（2）的计算可以从另一个角度来计算,那就是先算出流过场内每一个微dxdy在单位时间内散发出去的流体的面积，然后求其总和。设上述曲线C所围平面区城为G,在G内任取一个微元dxdy显然在单位时间内从左边流进(x轴方向)这个微元的流体面积近似于Pdy,而从右边流出的面积近似于,'dyxdxPP（xdxP'为偏增量的近似)。因此这个微元在单位时间内沿x方向(净)散发出去流体面积近似于xdxdyPPdydyxdxPP''。同理沿y方向（净）散出去的流体面积近似于ydxdyQ'，所以总的和为dxdyyQxP''由重积分的定义得：dxdyyQxPc有（1）、（2）可得：dxdyyQxPQdxPdyc这是场论中最根本的公式，即格林公式的原型。（三）格林公式与GPS面积测量仪格林公式作为多元微积分中联系平面曲线积分与二重积分的一个重要公式，不仅给出了一个有效计算平面曲线积分的方法，而且给出了一种已知边界曲线方程的平面区域面积的计算方法．在这部分的教学内容中，传统应用主要局限于纯几何与物理问题的解决，很少应用于生活实际问题的讨论．本文在基于微元法的基础上，讨论了GPS面积测量仪测量平面区域面积的数学原理，并在教学实践中，将其以引入性问题和课程探索性实验的形式作为曲线积分教学内容的扩充，实现了抽象的数学理论与方法和生活实际的有效结合[3]．1.应用曲线积分计算平面区域面积设D为xOy平面上的闭区域，其边界∂D由光滑或分段光滑闭曲线组成，函数P(x，y)和Q（x，y）在D上有连续的一阶偏导数，则有(,)(,)()LDQPPxydxQxydydxdyxy(1)其中D的方向为关于区域D的正方向．曲线正方向的确定使用“左手法则”，即当一个人沿着该方向行走的时候，区域位于左手一侧．式(1)对于平面单连通区域或多连通区域都成立．4当式(1)中的二重积分被积函数为常数时，可以使用左端关于坐标的曲线积分计算封闭曲线围成的平面区域的面积．即若QPAxy则有1(,)(,)DLSPxydxQxydyA（2）因此，只要构造合适的P(x,y)和Q(x，y)，就可以通过封闭曲线∂D上的第二类曲线积分计算其围成的平面区域D的面积．则12DLLLSydxxdyydxxdy（3）2.GPS面积测量仪的数学原理利用格林公式或二重积分方法计算平面区域的面积时，一般需要知道其边界曲线方程，而在实际生活中，这样的边界曲线方程是很难知道的，因此无法直接使用它们来完成对面积的精确计算．GPS面积测量仪则给出了比较好的平面区域面积的近似计算方法．只要手持测量仪绕行测量区域一周．仪器就可以通过自动记录行进路线的坐标，计算所围绕区域的近似面积．设由边界曲线3D围成的区域和使用GPS测量仪记录的平面坐标为(,)(1,2...,)iiiPxyin图1目标区域与记录点位置由式(2)可知，在闭曲线方程已知的情况下，对其围成的封闭区域面积的计算可以转换为曲线积分计算．假设闭曲线方程未知，则根据积分的存在性，借助于微元法思想，封闭曲线可以近似为由有向线段的并，其中其中11nPP，即12231...nDPPPPPP(4)5从而有1111(,)()(,)()nDiiiiiiiiiSPxyxxQxyyyA（5）其中11nxx，11nyy.3.实验结果下面以参数方程x=4sint-sin4t（6）y=4cost-cos4t确定的封闭曲线为例，在Mathematica中进行数学实验验证。由于该封闭曲线方程已知，所以由公式(3)，利用第二类曲线积分的直接计算方法，可得所围封闭区域面积为20π≈62．832．取参数增量分别为,,,,,6122448480t