抽象函数经典习题大全

抽象函数经典问题1.若函数(21)fx的定义域为31,2,则函数2(log)fx的定义域为()A.1,22B.1,22C.41,22D.41,222.若*(1)()1(fnfnnN),且f(1)=2,则f(100)的值是()A．102B．99C．101D．1003.定义R上的函数()fx满足：()()(),(9)8,(3)fxyfxfyff且则（）A．2B．2C．4D．64.定义在区间（-1，1）上的减函数()fx满足：()()fxfx。若2(1)(1)0fafa恒成立，则实数a的取值范围是___________________.5.已知函数()fx是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,xy,都有:()()()fxyfxfy成立.则不等式2(log)0fx的解集是_____________________.6.已知函数()fx是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin)(1cos)faxfax对xR恒成立，求实数a的取值范围。7.已知()fx是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的,,abR都满足:()()()fabafbbfa.(1)求(0),(1)ff的值;(2)判断()fx的奇偶性,并证明你的结论;(3)若(2)2f,*(2)()nnfunNn,求数列{nu}的前n项和ns.8.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。9.已知函数()fx的定义域为R,对任意实数,mn都有1()()()2fmnfmfn,且1()02f,当12x时,()fx0.(1)求(1)f;(2)求和(1)(2)(3)...()ffffn*()nN;(3)判断函数()fx的单调性,并证明.10.函数()fx的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xR,有()fx0;②对任意,xyR,有()[()]yfxyfx;③1()13f.(1)求(0)f的值;(2)求证:()fx在R上是单调减函数;11.已知函数()fx的定义域为R,对任意实数,mn都有()()()fmnfmfn,且当0x时,0()1fx.(1)证明:(0)1,0fx且时,f(x)1;(2)证明:()fx在R上单调递减;(3)设A=22{(,)()()(1)}xyfxfyf,B={(,)(2)1,xyfaxyaR},若AB=,试确定a的取值范围.12.已知函数()fx是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线1x对称.(1)求(0)f的值(2)证明:函数()fx是周期函数;(3)若()(01),fxxx求当xR时,函数()fx的解析式13.函数()fx对于x0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()ffxyfxfyfx是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若()(3)2fxfx成立，求x的取值范围。14.设函数()fx在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0ff．（1）试判断函数()yfx的奇偶性；（2）试求方程()fx=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论抽象函数问题习题答案1.B2.A3.A4.02a,解:由2(1)(1)0fafa得,2(1)(1)fafa,得2211111111aaaa0222021aaaa且02a5.12xx；解：令1xy，则(1)2(1)ff(1)0f，则2(log)(1)fxf222log1loglog22xxx………..①∵函数()fx是定义在(0,+∞)上的增函数∴2og01lxx,……………………………………………………②由①②得，不等式的解集为12xx。6.11022a；解：22(sin)(1cos)faxfax等价于2222222222sin33sin311cos32cos205sin1cos1cossin14axaxaaxaxaaxaxaaxxaa2211022211011022aaaaa或7.（1）解：令0ab，则(0)0f令1ab，则(1)2(1)(1)0fff（2）证明：令1ab，则(1)2(1)ff，∵(1)0f，∴(1)0f令,1axb，则()(1)()()fxxffxfx∴()fx是奇函数。（3）当0ab时，()()()fabfbfaabba，令()()fxgxx，则()()()gabgagb故()()nganga，所以1()()()()nnnnnfaaganaganafa∴1(2)11()22nnnfufn∵111(2)2,(1)(2)220222fffff∴111(2)242ff，故11122nnunN∴11122111212nnnsnN8.（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴)(1)(xfxf由已知x0时，f(x)10，当x0时，-x0，f(-x)0∴0)(1)(xfxf又x=0时，f(0)=10∴对任意x∈R，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf∴f(x2)f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20∴0x39.8.（1）解：令12mn，则1111()2()2222ff1(1)2f（2）∵1(1),2f111(1)(1)()()()1222fnffnfnfn∴(1)()1fnfn∴数列()fn是以12为首项,1为公差的等差数列,故(1)(2)(3)...()ffffn=(1)22nnn=22n(3)任取1212,,xxRxx且,则21211121112111()()[()]()()()()()22fxfxfxxxfxfxxfxfxfxx=211()02fxx∴12()()fxfx∴函数()fx是R上的单调增函数.10.9.(1)解:∵对任意xR,有()fx0,∴令0,2xy得,2(0)[(0)](0)1fff(2)任取任取1212,,xxRxx且,则令112211,33xpxp,故12pp∵函数()fx的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xR,有()fx0;②对任意,xyR,有()[()]yfxyfx;③1()13f∴1212121111()()()()[()][()]3333ppfxfxfpfpff0∴12()()fxfx∴函数()fx是R上的单调减函数.(3)由（1）（2）知，()(0)1fbf，∴()1fb∵()()(),()()acbbacfafbfbfcbfbbb∴()()()()2[()]acacbbbfafcfbfbfb，而2222acacbb∴22()2()2()acbbbfbfbfb∴()()2()fafcfb11.(1)证明:令0,1mn,则(01)(0)(1)fff∵当0x时,0()1fx,故(1)0f,∴(0)1f,∵当0x时,0()1fx∴当0x时,0x,则(0)1()()()()1()()ffxxfxfxfxfxfx(2)证明:任取1212,,xxRxx且,则2121112111()()[()]()()()()fxfxfxxxfxfxxfxfx211[()1]()fxxfx∵210xx,∴0210()1fxx,故21()1fxx0,又∵1()0,fx∴211[()1]()0fxxfx,故12()()fxfx∴函数()fx是R上的单调减函数.(3)∵2222(,)()()(1)(,)()(1)Axyfxfyfxyfxyf由（2）知，()fx是R上的减函数，∴221xy∵B={(,)(2)1,xyfaxyaR}=,20,xyaxyaR又∵AB，∴方程组22120xyaxy无解，即直线22201axyxy与单位圆的内部无公共点∴2211a23a33a，故a的取值范围是-33a12.(1)解:∵()fx为R上的奇函数,∴对任意,xR都有()()fxfx,令0,x则(0)(0)ff∴(0)f=0(2)证明:∵()fx为R上的奇函数,∴对任意,xR都有()()fxfx,∵()fx的图象关于直线1x对称,∴对任意,xR都有(1)(1)fxfx,∴用1x代x得,(2)[1(1)]()()fxfxfxfx∴[2(2)](2)[()]()fxfxfxfx,即(4)()fxfx∴()fx是周期函数,4是其周期.(3)当1,3x时，(11)()2(13)xxfxxx当4141kxk时，()4fxxk，kZ当4143kxk时，()24fxxk，kZ∴4(4141)(),24(4143)xkkxkfxzRxkkxk图象如下：y-2-10123456x13.(1)证明：令1xy，则(11)(1)(1)fff，故(1)0f（2）∵(2)1f，令2xy，则(22)(2)(2)2fff，∴(4)2f()(3)2fxfx22[(3)](4)(3)(4)3414fxxffxxfxxx∴()(3)2fxfx成立的x的取值范围是13x。14.解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和,从而知函数)(xfy不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf,从而知函数)(xfy的周期为10T又0)7(,0)0()3(fff而,故函数)(xfy是非奇非偶函数;(2)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(