概率论与数理统计

概率论与数理统计教材：《概率论与数理统计》清华大学出版社杨荣等编参考资料参考书目—教材：《概率论与数理统计》贺才兴等编，科学出版社《概率论与数理统计》（第二版）(普通高等教育“九五”国家级重点教材)茆诗松周纪芗编著.2000年7月.中国统计出版社.参考书目—学习辅导教材：《概率论与数理统计—试题精解》.张学元主编.湖南大学出版社.面向21世纪高等学校数学系列辅导教材《概率论与数理统计习题与解答》(普通高等教育“九五”国家级重点教材)茆诗松周纪芗编著.2000年10月.中国统计出版社.课程要求考试：平时成绩占4０％，期末考试占6０％．对学生的修课建议建议学生温习高等数学和线性代数的内容，并要求预先掌握排列与组合基本内容和主要结论。概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性研究对象：随机现象研究内容：随机现象的统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学分支概率论是如何产生的？1、概率论的起源2、概率论的发展历程引言概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费尔玛和帕斯卡他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝1629-1695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础.1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作《分析杂论》，当中包含了著名的「棣莫弗─拉普拉斯定理」。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始雏形。而接着拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于「正态分布」及「最小二乘法」的理论。使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各.伯努利﹝1654-1705﹞。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为「伯努利大数定理」，即「在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势」。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗作《猜度术》中。概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦做出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。随着时间的迁移，人们发现概率论有许多应用，不仅在工程，科学和数学方面，而且在保险统计、农业、商业，医药和心理学等范围。统计比概率论起源得更早。它主要处理收集、组织和用表表示资料。随着概率论的出现，人们明白了统计能够提取有用的结论，在资料分析的基础上做出有道理的决策，比如抽样理论和预测、预报。预备知识主要内容：1、加法原理，乘法原理，排列和组合2、集合的基本知识一、加法原理例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法每一种走法都可以从甲地到乙地，因此一天中乘坐这些交通工具从甲地到达乙地共有4+2+3=9种不同的走法。做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，、、、，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++、、、+种不同的方法。1m2mnmnm1m2m加法原理内容…二、乘法原理例2从A村到B村有3种不同的走法,从B村到C村又有2种不同的走法,则由A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？解：从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法。因此从A村经B村去C村共有3*2=6种不同的走法。乘法原理内容做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，、、、，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=**、、、*种不同的方法。1m1m2m2mnmnm三、排列•定义：一般说，排列就是从n个不同的元素中，任取m（mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。•从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。•排列数公式)1(**)2(*)1(*)!(!mnnnnmnnPmnmnP例3某段铁路上有12个车站，共需要准备多种普通的客票？解：因为每一张车票对应着2个车站的一个排列，因此需要准备的车票种数，就是从12个车站中任取2个的排列数：12*11=132答：一共需要准备132种普通客票.四、组合定义:一般说，从n个不同的元素中，任取m个元素(mn)并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示组合数公式!)!(!!)1()2)(1(mmnnmmnnnnPPCmmmnmnmnC集合：某些事物的全体组成的集体，叫做集合，也简称集。元素：组成集合的各个事物。例4（1）全体自然数组成的集合，记N={1，2，3，、、、}；（2）石化学院2002级全体学生组成一个集合，记A={学生/石化学院2002级学生}；（3）定义域为区间[a,b]的所有连续函数，记D={f(x)/f(x)为定义域在[a,b]上的连续函数}五集合六集合的关系和运算•1.子集：“A包含于B”,AB•集合相等:若AB且BA，则称A等于B，记作A=B•2.并集：“读作A并B”•3.交集：“读作A交B”简记：•4.余集：设U是全集，由所有在U中不在B中的元素组成的集合，称B在U中的余集，记作•5.差集：设A、B为两个集合，称由属于A而不属于B的所有元素组成的集合A与B的差集，记作BxAx有,}BxAxxBA且}BxAxxBA或AB}{BxUxxB且}{BxAxxBA且（传递性）（交换律）（结合律）（分配律）（对偶定律）BAABBABACACBBA,)()()()(CBACBACBACBA)()()()()()(CBCACBACBCACBAABBAABBA七集合运算的性质第一章随机事件与概率•随机试验•随机事件及其运算•概率的定义及其运算•条件概率•事件的独立性1.1.1随机试验(简称“试验”)这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;随机试验的例子随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果；3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。具有上述三个特点的试验称为随机试验，我们就是通过随机试验来研究随机现象的。随机试验可表为E1.2样本空间、随机事件(一）样本空间试验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;随机试验的例子例：给出E1-E6的样本空间S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}定义：•随机事件:称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件；•基本事件:有一个样本点组成的单点集；•必然事件:样本空间S本身；•不可能事件:空集。（二）随机事件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现．返回主目录E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；S2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A＝“至少出现一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“三次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。1.包含关系“A发生必导致B发生”记为ABA＝BAB且BA.（三）事件之间的关系2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作ABn个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作3.积事件:A与B同时发生，记作AB＝ABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An4.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生.思考：何时A-B=?何时A-B=A？5.互斥的事件：AB＝6.互逆的事件AB＝,且AB＝（四）事件的运算律1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.事件的概率概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！事件发生的可能性最大是百分之百，此时概率为1.0≤P(A)≤1我们用P(A)表示事件A发生的概率，则事件发生的可能性最小是零，此时概率为0.例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.随机试验样本空间随机事件及其概率给出了事件的集合表示如何求得某事件的概率?研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的1.3频率与概率一、频率的定义和性质1、定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成f