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实用文档标准文案用三垂线法求二面角的方法三垂线定理:平面内的一条直线,如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。已知:如图,PB是平面的斜线,PA是平面的垂线,直线a平面,直线a垂直;射影AB.求证:aPB证明:∵PA是平面的垂线,直线a平面∴直线aPA又∵直线aABABPAA∴直线a平面PAB而PB平面PAB∴aPB总结:定理论述了三个垂直关系,①垂线PA和平面垂直;②射影AB和直线a垂直;③斜线PB和直线a垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系,是线面垂直的性质,在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点,三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化,因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。运用三垂线法求二面角的一般步骠:①作:过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。.②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义)。③求:二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度)。1、如右图所示的四面体ABCD中,AB平面BCD,BCCD且1BCCD,3AD,①求二面角CABD的大小;②求二面角BCDA的大小;1.解:①∵AB面BCD∴BCABBDAB∴CBD为二面角CABD的平面角∵BCCD且1BCCD∴CBD=4∴二面角CABD的大小为4②∵AB面BCDBCCD∴由三垂线定理得CDAC∴ACB为二面角BCDA的平面角∵BCCD∴222BDBCCD∵AB平面BCD∴ABBCABBD∴221ABADBD在RtABC中,tan1ABACBBC,∴二面角BCDA的大小为4方法点拨:本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB、斜线AC及其射影BC,。从而得到二面角的平面角为ACB。ABDCABPa实用文档标准文案2.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.求二面角A—VB—D的余弦值.2解:取AB的中点P,连结VP、DE,则由题意可知VP⊥平面ABCD,∴DA⊥VP又∵AD⊥AB∴AD⊥平面VAB∵VAB是正三角形,E为VB的中点,∴AE⊥VB,∴由三垂线定理得VB⊥DE.所以AED就是所求二面角的平面角.由已知得DA=2,AE=3∴DE=7∴217AECOSAEDED故二面角A—VB—D的余弦值为217.方法点拨:本题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点D到二面角的另一个平面AVB的垂线D则斜线为DE,其射影为AE从而得到二面角的平面角为AED。,。.3.一个三棱锥SABC的三视图、直观图如图.求二面角SABC的正切值.3解:由正视图、俯视图知4AC;由正视图、侧视图知,点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D,则3BD,BD平面SAC,BDAC;由俯视图、侧视图知,点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O,则2SO,SO平面ABC,SOAC.如图.作CHAB于H,作//OECH交AB于E,则OEAB,连接SE,因OE是SE在底面ABC内的射影,而OEAB,故由VEADBC22正视图侧视图2俯视图实用文档标准文案三垂线定理得SEAB,∴SEO为二面角SABC的平面角.△ABC中,易求得13BABC,由△ABO的面积相等关系:1122AOBDABOE,得913AOBDOEAB,RtSEO中,213tan9SOSEOOE,故二面角SABC的正切值为2139.方法点拨:本题的难点是过二面角的一个平面SAB上一点S作二面角的另一个平面ABC的垂线SO,再过垂足O作二面角的棱AB的垂线,从而得到斜线SE及其射影OE,从而得到二面角的平面角为SEO。4.如图,ABC是以ABC为直角的三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4.N、D分别是AB、BC的中点。求二面角S—ND—A的正切值.4.解:过A作AFDN且与DN的延长线相交于点F,连接SF∵SA平面ABC∴由三垂线定理得DFSF∴SFA就是二面角S—ND—A的平面角,在RtBDN中,225DNBDBN在RtAFN中,15AFBDSinANFSinBNDANND∴1255AFAN∴tan5SASFAAF故二面角S—ND—A的正切值为5.方法点拨:本题的关键是找到从二面角的一个平面SND上一点S到二面角的另一个平面AND的垂线AF,过垂足A作二面角的棱DN的垂线AF,从而得到斜线AF及其射影AF,从而得到二面角的平面角为SFA。5.如图所示,圆柱底面的直径AB长度为22,O为底面圆心,正三角形ABP的一个顶点P在上底面的圆周上,PC为圆柱的母线,CO的延长线交O于点E,BP的中点为F.求二面角FCEB的正切值.SCDBNFASCDBNA实用文档标准文案5.解:取BC的中点K,取OC的中点N,则KN∥OB∵F是PB的中点∴FK∥PC∵PC为圆柱的母线∴PC⊥平面CEB∴FK⊥平面CEB∵正三角形ABP中,O为AB的中点∴AB⊥OP∴由三垂线定理的逆定理得AB⊥OC∴KN⊥OC∴由三垂线定理得CE⊥FN∴KNF为二面角FCEB的平面角由已知得1222KNOB,6OP,∴2PC∴112KFPC∴tanKNF=2KFKN,即二面角FCEB的正切值为2.方法点拨:本题的难点是找到二面角的一个平面BCE的垂线PC,则过二面角的一个平面FCE上一点F作PC的平行线FK就是二面角的另一个平面BCE的垂线,过垂足K作二面角的棱CE的垂线KN,从而得到斜线FN及其射影KN,从而得到二面角的平面角为FNK。6、如图,P-AD-C是直二面角,四边形ABCD是∠BAD=1200的菱形,PA=AB=2,PA⊥AD,试问在线段AB(不包括端点)上是否存在一点F,使得二面角A-PF-D的大小为450?若存在,请求出AF的长,若不存在,请说明理由.6.解:设AF=x,过点D作BA延长线的垂线DH,垂足为H。∵PA⊥AD,二面角P-AD-C是直二面角,∴PA⊥面ABCD,∴PA⊥DH由于DH⊥AB,DH⊥PA,且PAAB=A,故DH⊥平面PAB过H作PF的垂线HO,O为垂足,再连接D0,由三垂线定理得:D0⊥PF,所以∠HOD就为二面角A-PF-D的平面角。在Rt△ADH中,求得:AH=1,DH=3在Rt△FHD中,FH=AF+AH=x+1,由PFH的面积相等关系得,OH=FHPAPF24)1(2xx在Rt△HOD中,当∠HOD=45º,则有:OH=DH,此时:34)1(22xx,解得:x=462所以,在AB上存在一点F,使得二面角A-PF—D的大小为45º,此时AF=462.方法点拨:本题的难点是过二面角的一个平面PFD上一点D作二面角的另一个平面PAF的垂线DH,再过垂足H作二面角的棱PF的垂线DO,从而得到斜线DO及其射影OH,从而得到二面角的平面角为HOD。BACDPFBACDPFHO实用文档标准文案7.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=21.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.7.解法一:延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱∵AD∥BC,BC=2AD∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交线.又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是SC在面SEB上的射影,∴CS⊥SE,所以∠BSC是所求二面角的平面角∵SB=SBBCBCABSA,1,222∴tg∠BSC=22SBBC即所求二面角的正切值为22解法二:延长BA、CD相交于点E,连结SE,则SE是所求二面角的棱过A作AFSE,垂足为F,连结FD∵SA⊥面ABCD∴AD⊥SA又∵∠ABC=90°,ADBC∴AD⊥AB而ADSAA∴DA⊥面SAE∴由三垂线定理得:SE⊥DF∴∠DFA是所求二面角的平面角由已知得A为BE的中点∴AE1,SE2由SAE面积相等关系得22SAAEAFSE在RtFAD中,2tan2ADDFAAF即所求二面角的正切值为22解法三(提示):取SC的中点Q,BC的中点H,连结QH、DH、DQ,则//,//QHSBDHAB,从而平面QHD//平面SBA,所以面QHD与面SCD所成二面角的大小等于面SCD与面SBA所成二面角的大小而面QHD与面SCD的公共棱为QD,。∵SA⊥面ABCD∴SA⊥BC,又∵∠ABC=90°∴BC⊥面SAB∴CH⊥面QHD由已知得:222255,22SDSAADCDDHCH∴SD=CD,又Q为SC的中点∴QDQC由三垂线逆定理得:QDQH所以,CQH是面QHD与面SCD所成二面角的平面角ABCDSABCDSEABCDSEFABCDSQH实用文档标准文案由已知得:1112,2222CHBCQHSB在RtQHC中,2tan2CHCQHQH解法四(提示用面积投影法):∵SA⊥面ABCD∴SA⊥BC,又∵∠ABC=90°∴BC⊥面SAB∵BC//AD∴AD⊥面SAB∴C在平面SAB上的射影为B,D在平面SAB上的射影为A,∴面SCD的投影面为面SAB,设Q为SC的中点,所求二面角的大小为,则由已知得:222255,22SDSAADCDDHCH222223,2SCSBBCQDSDSQ,1116,2224SABSCDSSAABSSCDQ6cos3SABSCDSS从而求得2tan2方法点拨:本题的难点是作二面角的公共棱,方法①是先延展两个面SCD与面SBA得到公共棱SE,然后找其中一个面SBA的重线DA或CB,方法②是先平移面SBA到面HQD得到公共棱QD,然后找其中一个面HQD的垂线,,解法3用二面角的定义得面QHD与面SCD所成二面角的平面角为HQC,解法四用三垂线法得面QHD与面SCD所成二面角的平面角为HNC.8.(本小题满分14分)已知DBC和ABC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,0120DBCCBA,求:⑴.直线AD与平面BCD所成角的大小;⑵.直线AD与直线BC所成角的大小;⑶.二面角A-BD-C的余弦值.8.解:⑴如图,在平面ABC内,过A作AH⊥BC,垂足为H,∵DBC和ABC所在的平面互相垂直∴AH⊥平面DBC,∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角由题设知△AHB≌△AHD,则DH⊥BH,AH=DH,∴∠ADH45°…………….5分⑵∵BC⊥DH,且DH为AD在平面BCD上的射影,∴BC⊥AD,故AD与BC所成的角为90°……9分⑶过H作HR⊥BD,垂足为R,连结AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角,设BC=a,则由题设知,AH=DH=2,23aBHa,在△HDB中,HR=43a,∴tanARH=HRAH=2故二面角A—BD—C的余弦值的大小为55…………14分RHABCD实用文档标准文案9.如图,在四棱锥CABDE中,ABC为正三角形,AE平面ABC,BD平面ABC,M为CD上一点,22BDBCAE.(Ⅰ)求证://AE平面BCD;(Ⅱ)当EMBD时,求二面角MABC的正切值.9解:(Ⅰ)∵AE平面ABC,BD平面ABC∴AE∥BD而AE平面BCDBD平面BCD∴AE∥平面BCD(Ⅱ)∵BD平面ABC∴平面BCD平面ABC在平面BCD中过点M做MNBC,垂足为N,则有MN平面ABC,MN∥BD,∴2EMN且MN∥AE,过N做NGAB于G,则MGAB,则MGN为二面角MA
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