灰色系统理论

灰色系统理论主要内容灰色系统的概念与发展几种不确定系统研究方法灰色关联分析灰色预测模型引言一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等。遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道。人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻灰色系统概念：信息完全明确的系统称为白色系统。信息未知的系统称为黑色系统。部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。定义：我们称只掌握或只能获得部分控制信息的系统为灰色控制系统,简称灰色系统.灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策，控制，优化为主体的技术体系。灰色系统理论的产生和发展动态1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文“灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。1985年，灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989年，海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学：着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。概率统计：研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。灰色系统理论：着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元”或“细胞”。我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用记号“⊗”表示灰数。仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为⊗∈[a,−∞]，其中a是灰数⊗的下确界，是确定的数，我们称[a,−∞]为⊗的取数域，简称⊗的灰域。仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为⊗∈[a,−∞]，其中a是灰数⊗的下确界，是确定的数，我们称[a,−∞]为⊗的取数域，简称⊗的灰域。仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为⊗∈[−∞,b]，其中a是灰数⊗的上确界，是确定的数。区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为⊗∈[a,b]黑数与白数。当⊗∈[−∞,+∞]，称⊗为黑数；当⊗∈[a,b]且a≠b时，称⊗为白数。连续灰数与离散灰数。本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值，宇宙的总能量等。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值。灰色关联分析定义：灰色关联度分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，即“灰色关联度”作为衡量因素之间关联程度的一种方法。对两个系统或两个因素之间关联性大小的量度，称为关联度。它描述系统发展过程中因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向及速度等指标的相对性。如果两者在系统发展过程中相对变化基本一致，则认为两者关联度大；反之，两者关联度就小。关联分析假设行为系统序列其点关联系数为：对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。关联度：𝑟𝑋0,𝑋𝑖=1𝑛𝑟𝑥0𝑘,𝑥𝑖(𝑘)𝑛𝑘=1例：工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：工业：𝑋1=(45.8，43.4，42.3，41.9）农业：𝑋2=(39.1，41.6，43.9，44.9）运输业：𝑋3=(3.4，3.3，3.5，3.5）商业：𝑋4=(6.7，6.8，5.4，4.7）参考序列分别为𝑋1，𝑋2，被比较序列分别为𝑋3，𝑋4，试求关联度。解：以𝑋1为参考序列求关联度第一步：初值化处理，分别用同一序列的第一个数据去除后面的各个原始数据，得到新的倍数数列。𝑋1′=（1，0.94541，0.92358，0.91484）𝑋2′=（1，1.06393，1.12276，1.14833）𝑋3′=（1，0.97058，1.02941，1.02941）𝑋4′=（1，1.01492，0.80597，0.70149）第二步，求序列差。∆2=（0，0.11852，0.19918，0.23349）∆3=（0，0.02517，0.10583，0.11456）∆4=（0，0.06951，0.11761，0.21335）第三步，求两级差𝑀=𝑚𝑎𝑥∆𝑖𝑘=0.2335𝑀=min∆𝑖𝑘=0第四步：计算关联系数𝑟1𝑖𝑘=0.11675∆𝑖𝑘+0.11675𝑟12(1)=1.0000𝑟12(2)=0.4962𝑟12(3)=0.3695𝑟12(4)=0.3333𝑟13(1)=1.0000𝑟13(2)=0.8226𝑟13(3)=0.5245𝑟13(4)=0.5047𝑟14(1)=1.0000𝑟14(2)=0.6268𝑟14(3)=0.4982𝑟14(4)=0.3537第五步：求关联度。𝑟12=14𝑟12𝑘=0.54984𝑘=1𝑟13=14𝑟13𝑘=0.71304𝑘=1𝑟14=14𝑟14𝑘=0.61974𝑘=1计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。灰色关联分析在交通中的应用引言交通事故是一种随机事件,其本身具有偶然性和模糊性。如果把全国或某一地区的道路交通作为一个系统,则该系统中存在着确定因素(白色信息),如道路状况、信号、标志等,同时也存在一些不确定因素,如车辆状况、气候状况、驾驶员心理状态等,具有明显的灰色特征,因此可以认为全国或某一地区的道路交通安全系统是一个灰色系统,可应用灰色系统理论进行研究和分析。目前应用较多的是事故灰色预测、灰色关联分析等。研究思路1990—2000年全国道路交通事故统计资料如表1所示,主要相关因素如表2所示,据此进行灰色关联分析,步骤如下:1990—2000年全国道路交通事故统计资料如表1所示,主要相关因素如表2所示,据此进行灰色关联分析,步骤如下:求解综合关联度矩阵如下：𝑌1𝑌2𝑌3𝑌4𝑋1𝑋2𝑋3𝑋4𝑋5𝑋6𝑋7结论对于特征𝑌1(事故次数)，𝑋5(货运量)为最优因素，𝑋2(机动车数量)最劣。对于特征𝑌2(死亡人数)，𝑋7(货运周转量)为最优因素，𝑋3(公路里程)最劣。对于特征𝑌3(受伤人数)，𝑋5(货运量)为最优因素，𝑋2(机动车数量)最劣。对于特征𝑌4(直接经济损失)，𝑋5(货运量)为最优因素，𝑋3(公路里程)最劣。结论𝛾𝑖5=2.96724𝑖=1𝛾𝑖7=2.62604𝑖=1𝛾𝑖4=2.61374𝑖=1𝛾𝑖3=2.46234𝑖=1𝛾𝑖1=2.43754𝑖=1𝛾𝑖6=2.43664𝑖=1𝛾𝑖2=2.35414𝑖=1综上可知,X5(货运量)和X7(货运周转量)是影响交通安全的主要因素，其次是X4(客运量)。随着国民经济的发展，道路客、货运输量日益增长，因此，对道路客、货运输应加强管理,严防超速、超载、酒后驾驶、疲劳驾驶、非法装载等各类违章、违法行为，才能较大程度地提高道路交通安全水平。结论𝛾2𝑗=4.66857𝑗=1𝛾3𝑗=4.58537𝑗=1𝛾1𝑗=4.56987𝑗=1𝛾4𝑗=4.06937𝑗=1则Y2(死亡人数)为准优特征,Y3(受伤人数)次之。可见,死、伤人数是交通事故的主要特征和指标,降低事故伤亡程度一直是人们最为关心的课题,特别是目前我国正处于交通事故高发期,严防事故、降低伤亡率就变得日益迫切。灰色预测模型灰色预测模型是灰色系统理论领域最为活跃的分支之一，也是预测理论体系的一个新的研究方向，是研究“小样本”“贫信息”不确定系统的常用方法，针对现实世界中存在大量的灰色不确定性预测问题，利用少量“已知数据”(最少4个数据)，通过序列的累加生成，提取有价值的信息，揭示系统未来的发展趋势，进而实现对其未来变化的定量预测。通常，非负序列𝑋(0)不具有一定的规律性，经过累加（或累减）生成序列𝑋(1)呈现单调递增(或递减)的规律。累加累减生成的主要目的是使建模序列满足灰指数率条件，从而才能用灰微分方程进行拟合，这是灰色系统预测方法的重要原创思想。GM(1,1)模型模型检验残差检验关联度检验后验差检验残差检验按照预测模型计算𝑋(1)(𝑖)，并将𝑋(1)(𝑖)累减生成𝑋(0)(𝑖)，然后计算原始序列𝑋0(𝑖)与𝑋(0)(𝑖)的绝对误差序列与相对误差序列。后验差检验原始序列标准差绝对误差的标准差𝑆1=𝑋0𝑖−𝑋(0)2𝑛𝑖=1𝑛−1𝑆2=∆0𝑖−∆(0)2𝑛𝑖=1𝑛−1方差比𝐶=𝑆1𝑆2小误差概率𝑃=𝑝∆0𝑖−∆(0)0.6745𝑆1实例分析例：据某交通部门统计,从1996-2001年的某一级公路的道路交通死亡人数是呈逐年上升的趋势。1996-2001年7月,某一级公路的道路交通死亡人数的原始值和折算为年当量值如表2所示(单位:人)，根据该数据对后7年的数据进行预测。1.原始序列为：2.因此生成序列（一次累加序列）：𝑋(0)=(58,75,108,142,134,150)𝑋(1)=(58,133,241,383,517,667)3.紧邻均值生成序列：𝑍(1)=(95.5,187,312,450,592)4.其数据矩阵为：5.其数据向量：𝐵=−95.51−1871−312−450−592111𝑌=751081421341506.可得其待定参数列：𝑎=𝐵𝑇𝐵−1𝐵𝑇𝑌=𝑎,𝑏𝑇=−0.135,77.610𝑇7.则数据预测模型为：𝑥1𝑘+1=632.9𝑒0.135𝑘−574.98.还原值：年份1996199719981999200020012002200320042005200620072008k0123456789101112𝑥1(𝑘)5814925437451168848105312891558186722192623𝑥0𝑘91105120137157180205236269309352404原始值5875108142134150预测值1802052362693093524049.经残差检验以及后验差检验：方差比：C=0.30120.35小误差概率：P=10.95上述结果说明建立的灰色预测模型通过检验,且模型的精度为1级,精度好谢谢观看