第18届“华杯赛”笔试决赛初一组试题B及参考答案

第1页共3页第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B（初一组）（时间:2013年4月20日10:00～11:30）一、填空题（每小题10分,共80分）1.已知18ba,17ab,求ba=.2.若干人完成了植树2013棵的任务,每人植树的数目相同.如果有4人不参加植树,则剩余的人每人多植2棵不能完成任务,而每人多植3棵可以超额完成任务.那么共有人参加了植树.3.将长方形纸片ABCD一组对角的顶点B,D重合,压平,折成左面的图形AEFC’D.如果AB=a,AD=b,则三角形AED的面积与长方形ABCD的面积之比为.4.如图,一只青蛙开始在正六边形ABCDEF顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一.在D点处有只飞虫,若青蛙在5次之内跳到D点,则可以捕捉到飞虫,否则飞虫会逃走.那么青蛙从开始到抓住飞虫,有种不同跳法.5.若E,F分别为三角形ABC中边AB,AC上的点,CE和BF相交于P.已知三角形EBP与三角形FPC以及四边形AEPF的面积都是4,则三角形PBC的面积为.6.见右图,长宽比例为2:1的长方形镶有黑色宽边且一端带有1:1正方形对角线的图案,用8个这种长方形拼成一个正方形图形,要求其中4个水平放置,4个竖直放置.若一个这样拼成的正方形图ABEC'CDFPABCFE第2页共3页形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同,则认为两个拼成的正方形图形相同.那么有对称轴的不同的图形有种.7.甲、乙两车分别从A,B地同时出发相向而行,甲车每小时行40千米,乙车每小时行50千米.两车分别到达B地和A地后,立即返回,返回时甲车的速度增加二分之一,乙车的速度增加五分之一.已知两车两次相遇处的距离是50千米,则A,B两地的距离为千米.8.设a,b,c是0~9中的数字且至少有两个不相等,将循环小数cba.0化成最简分数后,分子有种不同情况.二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）9.在直线上依次排列有A,B,C,D四点.请你证明：.ABCDBCADACBD10.已知3128))(331(4)(332730aanaaafn,求fa被21a除的余式.11.一个三位数,将它的三个数字、三个数字两两乘积、三个数字的乘积相加,其和恰好等于它本身,这样的三位数中最小的是多少.12.将2613表示为不少于5个非0连续自然数naaa,,,21之和,即5,261321naaan,则第一项（最小的数）1a可以取的最大值与最小值分别是多少？三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）13.如图所示,两个等腰三角形ABC和ECD的底边在一条直线BD上,AD交EC与O,顶角CEDBAC且它们的腰长分别为5cm和10cm.若四边形ABDE的面积为5.52第3页共3页cm2,求三角形COD的面积.14.某些不为零的自然数是2010个数码和相同的自然数之和,也是2012个数码和相同的自然数之和,还是2013个数码和相同的自然数之和,求其中最小的那个自然数.第1页共2页第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（初一组）一、填空（每题10分,共80分）题号12345678答案16612224aba81224379000660二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9.证明过程：.ABCDBCADACBD证明1.如图，设,ABa,BCb,CDc则,,.ACabBDbcADabc于是,ABCDac2()BCADbabcabbbc所以2.ABCDBCADacabbbc而22()().ACBDabbcabbacbcacabbbc所以.ABCDBCADACBD证法2：设,ABa,BCb,CDc则,,.ACabBDbcADabc两条线段的乘积可以看成以这两条线段为边的长方形的面积.有下图所示：第2页共2页所以.ABCDBCADACBD注：本题实质上是一维的托勒密定理.10.答案：8096a11.答案：199．12.答案：最大值为433,最小值为6.三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.答案：1014.答案：6036.