1.8-角动量算符的本征方程及其解

1.1.1.1.轨道角动量算符及其分量算符轨道角动量算符及其分量算符轨道角动量算符及其分量算符轨道角动量算符及其分量算符算符化算符化算符化算符化::::经典表达式经典表达式经典表达式经典表达式::::应用应用应用应用：：：：原子结构原子结构原子结构原子结构、、、、配位场理论配位场理论配位场理论配位场理论、、、、分子转动分子转动分子转动分子转动、、、、分子散射分子散射分子散射分子散射（（（（反应动力学反应动力学反应动力学反应动力学））））§§§§1.81.81.81.8轨道角动量的本征方程及其解轨道角动量的本征方程及其解轨道角动量的本征方程及其解轨道角动量的本征方程及其解一一一一、、、、定义定义定义定义：：：：对易关系对易关系对易关系对易关系)i(rˆLˆ∇−×=hrvprLrrr×=zyxzyxkjiiL∂∂∂∂∂∂−=rrrhrˆ定义角动量平方定义角动量平方定义角动量平方定义角动量平方角动量角动量角动量角动量容易验证它们都是线性厄米的容易验证它们都是线性厄米的容易验证它们都是线性厄米的容易验证它们都是线性厄米的∂∂−∂∂−=∂∂−∂∂−=∂∂−∂∂−=))(())(())((xyyxiLzxxziLyzzyiLzyxhvhvhv2222ˆˆˆˆzyxLLLL++=2.2.2.2.对易关系对易关系对易关系对易关系量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量量子力学中把满足这些对易关系的量称为角动量----------------有共同本征函数完备系有共同本征函数完备系有共同本征函数完备系有共同本征函数完备系[][][][][][]======0ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ222zyxyxzxzyzyxLLLLLLLiLLLiLLLiLLhhh[]0ˆ,ˆ2=zLL3.3.3.3.角动量的球坐标表达式角动量的球坐标表达式角动量的球坐标表达式角动量的球坐标表达式可得可得可得可得：：：：===θϕθϕθcossinsincossinrzryrx∇−=∂∂+∂∂∂∂−=∂∂−=∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂=2,222222sin1)(sinsin1ˆˆ)sincos(ˆ)cos(sinˆϕθϕθθθθθϕϕϕθθϕϕϕθθϕhhhhhLiLctgiLctgiLzyx球坐标下球坐标下球坐标下球坐标下：：：：22222222222222ˆ)(1sin1sinsin1)(1hrLrrrrrrrrrr−∂∂∂∂=∇∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ϕθθθθθ本征方程本征方程本征方程本征方程：：：：------------共同本征函数完备系共同本征函数完备系共同本征函数完备系共同本征函数完备系二二二二．．．．本征方程及其解本征方程及其解本征方程及其解本征方程及其解zLLˆ,ˆ2==),(),(ˆ),(),(ˆ22ϕθϕθϕθλϕθYmYLYYLzhh1.1.1.1.的本征方程的本征方程的本征方程的本征方程：：：：分离变量分离变量分离变量分离变量：：：：得常微分方程得常微分方程得常微分方程得常微分方程::::得得得得::::------------本征函数本征函数本征函数本征函数),(Ym),(Yi),(),(ˆϕθϕθϕϕθϕθhhh=∂∂−=或YmYLz)()(),Y(ϕθϕθΦΘ=Φ=ΦimddϕϕϕimAe=Φ)(zLˆ利用单值条件利用单值条件利用单值条件利用单值条件::::即即即即：：：：故故故故m为整数为整数为整数为整数，，，，m=0，，，，±±±±1，，，，±±±±2，，，，±±±±3，，，，……)2()(πϕϕ+Φ=Φϕπϕπϕimimimimeeee==⋅+2)2(12sin2cos122=+==ππππmimeemimiϕϕimAe=Φ)(由由由由：：：：m是量子化的是量子化的是量子化的是量子化的，，，，称为磁量子数称为磁量子数称为磁量子数称为磁量子数π21=A==ΦhmLezimmϕπϕ21)(m=0，，，，±±±±1，，，，±±±±2，，，，±±±±3，，，，……结果结果结果结果：：：：得得得得：：：：归一化归一化归一化归一化::::∫∫===Φππϕπϕϕ2020222212AdeAdim2.2.2.2.的本征方程的本征方程的本征方程的本征方程变量分离变量分离变量分离变量分离：：：：代入上式并注意到代入上式并注意到代入上式并注意到代入上式并注意到::::得得得得：：：：2ˆL),(),(ˆ22ϕθλϕθYYLh=),(),(sin1)(sinsin122222ϕθλϕθϕθθθθθYYhh=∂∂+∂∂∂∂−)()(),(ϕθϕθmYΦΘ=ϕπϕimme21)(=Φ)()(2''ϕϕmmmΦ−=Φ)()()(sin)(sinsin1)(2222ϕθλθθθθθθϕmmmΦΘ=Θ−+∂∂∂∂−Φhh令令令令：：：：约去两边的公共项约去两边的公共项约去两边的公共项约去两边的公共项，，，，变形得变形得变形得变形得：：：：0)()sin()(sinsin122=Θ−+Θθθλθθθθθmddddθcos=u1≤u①①①①式为式为式为式为：：：：①①①①式式式式----缔合缔合缔合缔合legendre方程方程方程方程，，，，它的解是一个特殊函数它的解是一个特殊函数它的解是一个特殊函数它的解是一个特殊函数，，，，即缔即缔即缔即缔合合合合legendre多项式多项式多项式多项式，，，，0)1()1(222=Θ−−+Θ−umdudududλ0)1(2)1(22222=Θ−−+Θ−Θ−umdudududuλ解法解法解法解法（（（（大意大意大意大意）：）：）：）：①①①①::::奇点附近的渐近解奇点附近的渐近解奇点附近的渐近解奇点附近的渐近解：：：：②②②②令令令令代入原方程代入原方程代入原方程代入原方程：：：：1±=u−→Θ+→2)1(1muu+→Θ−→2)1(1muu∑∞=−+=Θ022)1()1(vvvmmuauu[]}{∑∞=+=−−+++−−++0220)()1(2)1()1)(2(vvvvvmmavmvvavvauλ得到系数递推公式得到系数递推公式得到系数递推公式得到系数递推公式：：：：③③③③但是但是但是但是，，，，可以证明可以证明可以证明可以证明，，，，当当当当u→→→→±±±±1时时时时，，，，级数不收敛级数不收敛级数不收敛级数不收敛让级数截止到有限次让级数截止到有限次让级数截止到有限次让级数截止到有限次，，，，即即即即这要求递推公式的分子为这要求递推公式的分子为这要求递推公式的分子为这要求递推公式的分子为0:0:0:0:这样得到一系列多项式这样得到一系列多项式这样得到一系列多项式这样得到一系列多项式，，，，称缔合称缔合称缔合称缔合legendre多项式多项式多项式多项式vvavvmvmva)2)(1()1)((2++−+++=+λ0≠ka02=+ka43421434211)1()(++++=llmkmkλ=≥......2,1,0lml可以定义一个归一化的函数可以定义一个归一化的函数可以定义一个归一化的函数可以定义一个归一化的函数：：：：得得得得：：：：****---缔合缔合缔合缔合legendre函数函数函数函数利用利用利用利用：：：：)(uPml∝Θ)(cosθmlP=∫−++=πδθθθθollmlmlmlmlldPP')!()!()12(2sin)(cos)(cos')(cos)!()!(212)(θθmllmPmlmll+−+=Θ)(lm≤∫=Θπθθ021sindlm3.3.3.3.结果结果结果结果——球谐函数球谐函数球谐函数球谐函数——归一化因子归一化因子归一化因子归一化因子——角量子数角量子数角量子数角量子数±±±==+−+===+=lmlmlmllNePNYYmYLYllYLlmimmllmlmlmlmzlmlm,,2,1,0,2,1,0)!()!(412)(cos),(),(),(ˆ),()1(),(ˆ22LLhhπθϕθϕθϕθϕθϕθϕ——磁量子数磁量子数磁量子数磁量子数****球谐函数是角动量和球谐函数是角动量和球谐函数是角动量和球谐函数是角动量和zzzz分量的共同本征函数分量的共同本征函数分量的共同本征函数分量的共同本征函数。。。。全部球谐函数构全部球谐函数构全部球谐函数构全部球谐函数构成一个正交归一的完备集合成一个正交归一的完备集合成一个正交归一的完备集合成一个正交归一的完备集合。。。。****正交归一性正交归一性正交归一性正交归一性：：：：几个几个几个几个l取值较小的球谐函数取值较小的球谐函数取值较小的球谐函数取值较小的球谐函数::::∫∫=ππδδϕθθϕθϕθ200*''''sin),(),(llmmlmmlddYYπ4100=YϕθπieYsin8311=ϕθπieY−−=sin831,1θπcos4310=YϕθπieY2222sin3215=ϕϕθπieYcossin81521=)1cos3(165220−=θπYϕθieY222,2sin___−−=ϕϕθieY−−=cossin___1,2三三三三．．．．讨论讨论讨论讨论1111、、、、角动量量子化角动量量子化角动量量子化角动量量子化角动量的大小是量子化的角动量的大小是量子化的角动量的大小是量子化的角动量的大小是量子化的::::角动量的分量是量子化的角动量的分量是量子化的角动量的分量是量子化的角动量的分量是量子化的::::——2222l+1+1+1+1个分立的数值个分立的数值个分立的数值个分立的数值Lhr2,1,0,)1(=+=lllL)(;,,1,0,2lmlmmLz≤±±==Lh)1(cos+=llmααααα角有一定的取值角有一定的取值角有一定的取值角有一定的取值，，，，经典经典经典经典αααα可连续变化可连续变化可连续变化可连续变化——空间量子化空间量子化空间量子化空间量子化（（（（spatialquantization））））实验证据实验证据实验证据实验证据：：：：Zeeman效应效应效应效应（（（（原子光谱在磁场中的分裂原子光谱在磁场中的分裂原子光谱在磁场中的分裂原子光谱在磁场中的分裂）：）：）：）：①①①①轨道磁矩与光场的作用轨道磁矩与光场的作用轨道磁矩与光场的作用轨道磁矩与光场的作用；；；；②②②②变化是不连续的变化是不连续的变化是不连续的变化是不连续的Stern-Gerlach实验等实验等实验等实验等（（（（基态原子在不均匀电场中的偏转基态原子在不均匀电场中的偏转基态原子在不均匀电场中的偏转基态原子在不均匀电场中的偏转同时证明电子自旋同时证明电子自旋同时证明电子自旋同时证明电子自旋））））2222．．．．一个特例一个特例一个特例一个特例这说明这说明这说明这说明也是也是也是也是的本征态的本征态的本征态的本征态，，，，本征值为零本征值为零本征值为零本征值为零。。。。——一般没有确定值一般没有确定值一般没有确定值一般没有确定值特例特例特例特例：：：：l=m=0不对易的算符没有没有共同的本征函数系不对易的算符没有没有共同的本征函数系不对易的算符没有没有共同的本征函数系不对易的算符没有没有共同的本征函数系，，，，但可以有个别的共但可以有个别的共但可以有个别的共但可以有个别的共同本征函数同本征函数同本征函数同本征函数。。。。),(~ϕθψlmY确定值−+−hhmLllLz22)1(ˆyxL,Lπ41Y00=0YLˆ00x=0YLˆ00y=00YxLˆyLˆ四四四四．．．．中心力场中的粒子中心力场中的粒子中心力场中的粒子中心力场中的粒子1111．．．．中心力场的一般特点中心力场的一般特点中心力场的一般特点中心力场的一般特点定义定义定义定义：：：：设粒子的质量为设粒子的质量为设粒子的质量为设粒子的质量为m，，，，V=