高中数学-第三章-空间向量与立体几何章节复习和小结学案苏教版选修2-1

空间向量与立体几何【学习目标】正确理解空间向量的有关概念、性质和定理，正确理解并记住各定理及公式的条件和结论，正确地选用基底或适当地建立坐标系，以向量为工具通过向量的运算解决问题．【学习过程】一．知识扫描1．空间线与面的平行与垂直设空间两条直线l1，l2的方向向量为e1→，e2→，平面α，β的法向量分别是n1→，n2→，则有：关系平行垂直l1与l2e1→∥e2→e1→⊥e2→l1与αe1→⊥n1→e1→∥n1→α与βn1→∥n2→n1→⊥n2→2．判定三点共线及四点共面主要依据空间向量的共线定理与共面定理，即如果非零向量a→，b→共线，则必存在唯一的实数λ，使得b→=λa→．如果三个非零向量a→，b→，c→共面，则必存在一对实数λ，μ，使得c→=λa→+μb→．由上可得以下结论：⑴空间三点A，B，C共线的条件是：存在实数λ或μ，使得OC→=11+λOA→+λ1+λOB→或OC→=λOA→+μOB→(λ+μ=1)．⑵空间四点A，B，C，D无三点共线，则它们共面的充要条件是：存在唯一一对实数x，y，z，使得AD→=xAB→+yAC→或OD→=xOA→+yOB→+zOC→(x+y+z=1)．3．空间的角异面直线所成的角，直线与平面所成的角，两平面所成的角均可以由直线的法向量与平面的法向量求得，但最终结果必须符合所求角的范围，否则要改成它的补角或余角．二．例题讲解例1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．⑴求证：AC⊥BC1；⑵求证：AC1∥平面CDB1．例2．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，又四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，PD=1，M，N分别是AD，PB的中点．⑴求证：PB⊥MN；⑵求证：平面MNC⊥平面PBC．例3．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E∈PC，PE=13PC，F∈PB，PF=23PB，R∈PD，PR=23PD，求证：PA∥面EFR．例4．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB，∠BAC=90°，侧棱与底面成60°角，BC1=ADBCC1A1B1ABCDPNMABCDPEFRabcz1A1B1C26，BC1⊥AC，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．三．课堂小结1．用空间向量的方法解决立体几何问题，关键在于依托图形建立空间直角坐标系或恰当地选取基向量，将其它向量用坐标或基向量表示，进行适当的运算．2．求角的问题：⑴求两直线所成的角，可以先找出这两直线方向向量，然后通过向量的运算求出两方向向量的夹角即为两直线的夹角；若求出的不是锐角或直角，还要根据两直线所成的角不超过90°，取其补角；⑵求直线与平面所成的角，一般改成求直线与平面的法向量所成的角，这两个角是互余关系；⑶求两平面所成的角，一般找出两平面的法向量，先求出两法向量所成的角，再根据二面角的特点确定其平面角与两法向量所成的角相等或互补．四．课后作业1:1．对空间任意两个向量a→，b→(b→≠0→)，a→∥b→的充要条件是()A．a→=b→B．a→=−b→C．b→=λa→D．a→=λb→2．已知向量a→=(0，2，1)，b→=(−1，1，−2)，则a→与b→的夹角为．3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是．4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，且AB=1，则EC与平面A1B1CD所成角的正弦值为．5．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD．6．如图，正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点．⑴求二面角B—SC—D的余弦值；⑵如果点Q在棱SC上，那么直线BQ与PD能否垂直？请说明理由．ABCDPMNABCDSPQ