幂级数

•一、函数项级数的一般概念•二、幂级数及其收敛性•三、幂级数的运算•四、小结幂级数1.定义:设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.,120xxxnn例如级数一、函数项级数的一般概念2.收敛点与收敛域:如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,)()(limxsxsnn函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注意：函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数)()()()(21xuxuxuxsn在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.),(xsn例1求级数nnnxn)11()1(1的收敛域.解由达朗贝尔判别法)()(1xuxunnxnn111)(11nx,111)1(x当,20时或即xx原级数绝对收敛.,11x,111)2(x当,11x,02时即x原级数发散.,0时当x1)1(nnn级数收敛;,2时当x11nn级数发散;).,0[)2,(故级数的收敛域为,1|1|)3(x当,20xx或nnnxn)11()1(11.定义:形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.,,000nnnxax时当其中na为幂级数系数.2.收敛性:,120xxxnn例如级数;,1收敛时当x;,1发散时当x);1,1(收敛域);,1[]1,(发散域二、幂级数及其收敛性如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.证明,0lim0nnnxa,)1(00收敛nnnxa0{}nnax数列有界定理1(Abel定理)),2,1,0(0nMxann使得0,Mnnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0,10时当xx,00收敛等比级数nnxxM00,,nnnaxxx故时收敛当0;nnnax即级数绝对收敛00(2),nnnaxxx反证：已知级数在处发散假设有一点1x适合01xx使级数收敛,则级数当0xx时应收敛,这与所设矛盾.由(1)结论xoRR几何说明:收敛区域发散区域发散区域如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论定义:以上推论中的正数R称为幂级数的收敛半径.对应的开区间称为收敛区间.(,)RR而幂级数的收敛则域为以下几种形式之一：),,[RR],,(RR].,[RR规定,R收敛区间),(.问题如何求幂级数的收敛半径?),,(RR(1)若幂级数只在0x处收敛,则(2)若幂级数对一切x都收敛,则,0Rxaaxaxannnnnnnn111limlim定理2.若的系数满足;1R;R.0R证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当,1x时,原级数绝对收敛;当,1x时,原级数发散.即1x1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝+∞时,即则1x因此级数的收敛半径.1R2)若,0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛,3)若,则对除x=0以外的一切x原级数发散,.0R对任意x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理1limnnnaaRxaaxaxannnnnnnn111limlim例2求下列幂级数的收敛域:解)1(nnnaa1lim1limnnn11R,1时当x,1时当x,)1(1nnn级数为,11nn级数为该级数收敛；该级数发散。;)1()1(1nxnnn;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn故收敛域是]1,1(.1lim(1)(1),nnnn,R级数只在0x处收敛,nnnaa1lim11limnn,00,R收敛域),(.;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx11(1)limlimnnnnnnanannnnaa1lim12limnnn2,21R,2121收敛即x,)1,0(收敛x.)21(2)1()4(1nnnnxn,0时当x,11nn级数为,1时当x,)1(1nnn级数为发散收敛故收敛域为(0,1].12xt令：则原级数变为：12(1)nnnntn例3求幂级数1122nnnx的收敛域.解:3523222xxx级数为缺少偶次幂的项应用达朗贝尔判别法)()(lim1xuxunnnnnnnnxx22lim12112,212x幂级数绝对收敛.211,2x当2,x即时211,2x当2,x即时幂级数发散,2,x当时,211n级数为2,x当时,211n级数为级数发散,级数发散,所以原幂级数的收敛域为：).2,2(1122nnnx注:前面介绍的定理1(Abel定理)以及定理2(求收敛半径公式)都是对标准幂级数010nnnnnaxaaxax2210221000(),,nnnnnnnnnaxxaxax而言的;但形如的非标准幂级数,则不能直接用上述定理。1.用变量代换把它们化为标准幂级数0;nnnat2.对非标准幂级数每一项取绝对值变成正项级数后用比值或根值判别法。但可以考虑：例4.求下列级数的收敛域:1111(1)(21)(2)()2nnnnxxnn(1)21,xt令则原级数变为1nntn11limlim1nnnnanRan因则此幂级数的收敛区间为(-1,1).1(1)nnn而当t=-1时,级数收敛;11nn而当t=1时,级数发散.故当-1≤2x+11时,即-1≤x0时,级数收敛.11(21)nnxn解：即原级数收敛域为[-1,0).1nntn的收敛域为[-1,1).(2),2xt解令则原级数变为1nntn由(1)知,则此幂级数的收敛域为[-1,1).11,222xx故即时,原级数收敛.即原级数收敛域为[-2,2)。11(2)()2nnxn1.代数运算性质:(1)加减法00nnnnnnxbxa.0nnnxc(其中21,minRRR)nnnbacRRx,,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设三、幂级数的运算(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa.0nnnxcRRx,(其中)0110bababacnnnn00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯西乘积321xxx(3)除法00nnnnnnxbxa.0nnnxc)0(0nnnxb收敛域内说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.(2)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.xnnnxdxxadxxs000)()(即00nxnndxxa.110nnnxna(收敛半径不变)2.和函数的分析运算性质:(1)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.(3)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导任意次.0)()(nnnxaxs即0)(nnnxa.11nnnxna(收敛半径不变)例5求级数11)1(nnnnx的和函数.解,)1()(11nnnnxxs两边积分得001()1xxstdtdtt111()(1)nnnsxx,11x)11(xln(1)ln(1)0xtx容易求出幂级数的收敛半径为1)11(x21xx,1时又x.1)1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn)11(x),1ln()(xxs)1ln()0()(xsxs即,0)0(s显然001()1xxstdtdttln(1)ln(1)0xtx11)1(nnnnx且在处有定义且连续,ln(1)1xx解:由例2(3)可知级数的收敛半径R＝+∞.例6.则11!)1()(nnnxxS)(xS故有0)(exSxxCxSe)(,e)(1)0(xxSS得由故得的和函数.因此得设解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,1)(nnxxxxx1例7.的和函数1nnxx01)(nnnxxS(01)x0111nnnxxx=1时级数发散,则在(-1,1)中，易求出幂级数的收敛半径为1,且时收敛,1x例8.求级数的和函数解:)1,0()0,1[x故由和函数的连续性得:)(xS而x=0时级数收敛于1,且,)1ln(1xx,10x,1)1(lnlim0xxx)(xS(011)xx及且在处有定义且连续,1ln(1)1xxx因为原幂级数在时收敛,1x)1,0()0,1[x1()ln(1),Sxxx1113nnnxnxfxf31,311113nnnxn610dxxf例9.设(1)证明在开区间内连续;(3)计算定积分的值.(2)求幂级数的收敛域;313lim331limlim11nnnnaannnnnnn解：(1)1113nnnxn31R所以幂级数的收敛半径31,31从而收敛区间为由和函数在收敛区间内的连续性知结论(1)成立.,而xf是此幂级数的和函数,(2012级期末考题)(12分)31,31故此幂级数的收敛域为31x1nn(2)因当时,级数为,发散,31x111nnn当时,级数为,发散,(3)因在收敛区间内,31,31111100011d3d3dxxxnnnnnnfxxnxxnxx113nnnx1133nnx1331313xxxx1113nnnxnxf所以20111d,,133313xxfxfxxxxx从而3131131d311d6106102610xxxxxf