等差数列的前n项和(教学设计)

2018——2019学年第二学期教学设计组别：高中数学组年级：高二姓名：***《等差数列的前n项和（第一课时）》教学设计一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握等差数列的前n项和公式和公式的推导方法———倒序相加法。（2）掌握等差数列的前n项和公式的应用。2.过程与方法（1）根据具体情景，通过公式的探索、发现，在公式发生、发展以及形成的过程中培养学生的数学思维能力。(2)遵循由简单到复杂、特殊到一般的认知规律，引导学生通过观察、尝试、分析、类比的方法得出等差数列的前n项和公式，培养类比思维能力。（3）通过对公式不同角度、侧面的剖析，培养学生思维的灵活性；通过对公式的具体运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观(1)借助具体的现实问题和丰富的数学史素材，激发学生探索学习的兴趣，产生想学数学的欲望。（2）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，使学生收到辩证唯物主义的熏陶。(3)通过公式的运用，增强学生学习数学的自信，塑造主动、积极、乐于探究的学习品质，树立“大众数学”的思想意识。二、教学重、难点：重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点：等差数列的前n项和公式的推导过程（类比思维的体现）。三、教学方法：问题情景教学；启发引导式教学；问题解决教学。四、教具准备：导学案、幻灯片五、教学设计(一）回顾复习等差数列是一种重要的数学工具，之前我们已经学习等差数列的概念、通项公式、性质。填空：①等差数列的概念（递推公式）=常数d,常数d叫做等差数列的；②等差数列的通项公式：1aan；③等差中项：如果两个数ba,的等差中项为A,那么A=；④等差数列的性质：若),,,(*Nqpnmqpnm其中，则nmaa；特别地，若),,(2*Npnmqpnm其中，则nmaa；等差数列}{na中，3211aaaaan；⑤设数列}{na的前n项和为nS，则nS.设计意图:复习相关知识，为后面等差数列求和公式的推导打下基础，所谓“温故知新”。(二）新课引入引例：泰姬陵是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：设计源于历史、富有人文气息的问题情境，增强学生对本节课知识的兴趣。问题1：高斯（1777-1855），德国著名数学家，是数学史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”，300多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？设计意图：提出问题，此题可以引发学生积极思考，借助问题的解答，使学生初步感受倒序相加的方法。问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？1+2+3+…+21=?方法一：直接相加法方法二：“首尾配对”摆出几何图形方法三：等差数列的角度21201932121S①12319202121S②两式相加21211221S2312)211(2121S设计意图：在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯算法联系起来，但是问题1中100个数可以配对50对，问题2中21个数不能全部配对（当然也可以计算结果），引导学生借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形计算点数.对问题1的算法作以拓展，进一步体会高斯算法。问题3：用刚才的新方法求和1+2+3+4+…+1n+n；教师板书：nnSn121①121nnSn②21(121)212s两式相加nnSn122)1(nnSn设计意图：层层设问，思维顺应。由问题2中的有穷数列到问题3的无穷数列，用高斯算法解决含有序号n的等差数列的求和，为下一步用倒序相加法求一般等差数列前n项和做准备。(三）新知探究（1）设置疑问，引发思考问题4：设等差数列,,,,,321naaaa的前n项和为nS，则nnaaaaS321,如何求nS？由前面的例子，不难用倒序相加法推出nnaaaaS321①121aaaaSnnnn②两式相加naaaaaaaaSnnnnn1112122)(1nnaanS设计意图：在前面两个问题的基础上，问题提出了一般等差数列求和公式的推导，鼓励学生自助探究，利用“倒序相加”的数学方法推导公式。（2）探究发现，类比记忆：问题5：你能记住这个公式吗？分析这个公式的形式结构？和以前学过的那个数学公式很像？设计意图：提示学生可以类比梯形面积公式记忆此公式，帮助学生记忆求和公式。纵向对比两个知识点，数（求和）形（梯形）结合，同化记忆，对“数形结合”的理解更加深一层。有这样一个梯形，上底长为)(1ma，下底长为)(man，高为)(mn，求这个梯形的面积为多少平方米？面积公式：（3）启发引导，合作探究问题6：启发学生，公式中出现了na,na可由1a，d确定，利用通项公式，是否能得出变形公式呢？2)1(22])1(2[2])1([2)(11111dnnnadnandnaanaanSnn即：dnnnaSn2)1(1学生动手得出等差数列的前n项和变形公式并记忆。12nnaaS思考：比较这两个公式，说说他们从那些角度反映了等差数列的性质？在理解公式的基础上记忆公式。实质上，公式一反映了等差数列的重要性质——等距性，公式二反映了等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数。（四）新知应用、典例剖析例1、某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：这位长跑运动员７天共跑了多少米？解：设运动员的运动量构成等差数列}{na,其中75001a，500d，7n方法一：直接用公式dnnnaSn2)1(1得630001500775007250067750077S方法二：用公式2)(1nnaanS得630002)105007500(72)(7717aaS变式练习：一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺一块，斜面上铺了瓦片19层，共铺了多少块？解：设屋顶的瓦片数从上到下分别是naaaa,....,,,321则它们构成等差数列,其中211a,1d，19n.将211a，1d，19n代入求和公式二，得：12)119(192119S19=570其他思路：391182118119daa用公式2)(1nnaanS得5702)3921(1919S解题点拨：通过例题1要让学生学会应用等差数列的两个求和公式，学会从实际问题中找到公式中相应的量，然后利用公式解决问题。在讲解的过程中随时强调解题过程的书写。在公式的选用中，强调：已知1a、na、n则用公式一，已知1a、d、n则用公式二。例2、借助等差数列的前n项和公式计算填空：（1）已知等差数列-4,-1,2,5,…,则3S，6S，9S，nS；（2）已知等差数列8，6，4，2，…，则4S，8S，12S，nS；（3）已知等差数列1，2，3，4，…，则5S，10S，15S，nS；750080008500900095001000010500学生活动：以小组为单位进行合作训练，组内同学互相帮助，让每个同学都会做，然后按小组分别将本小组的完成情况到黑板上进行展示，并进行讲解（分为5组完成）。解：（1）32)1(4S3；212356)4(6S6；722389)4(9S9；21123233423)1()4(S22nnnnnnnnn.（2）202468S4；82)2(7888S8；362)2(1112812S12；nnnnnnnn982)2)(1(8S22n.（3）15S5，55S10，120S15，nn2121S2n。设计意图：学生基础比较薄弱，本题为学生熟练运用等差数列的求和公式而设置，有具体的前几项和计算，又有一般的前n项和计算，为下节课的知识点：利用前n项和的表达式判断一个数列是否是等差数列，以及为片段和性质教学做好准备，通过小组合作，以期达到学习效率的最大化。思考：等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是关于n的二次函数，那么这个数列是等差数列吗？备用例题：等差数列{an}的首项为1a，公差为d，项数为n，第n项为na，前n项和为nS，请填写下表：1adnnanS51010-28104-38-10-360(五)随堂练习教科书第45页练习第1题(六)课堂小结问题：通过今天的学习，你有什么收获，做出本节的课堂小结？由高斯算法，推导出等差数列的两个前n项和公式2)(1nnaanS和dnnnaSn2)1(1，体会倒序相加法的思路，在问题解决中体会特殊到一般的数学方法，体会方程和函数的数学思想。(七)作业布置教科书46页习题2.3A组第1题，第2题七、板书设计板书设计等差数列前n项的和一、等差数列的前n项和公式倒序相加法2)(S1nnaan变形公式：板练dnnnaSn2)1(1二、例题八、发散思维训练1．数列{}na是等差数列，6.0,501da，（1）求数列的通项公式，从第几项开始有0na？（2）求此数列前n项和nS；（3）求此数列前n项和的最大值.2．已知等差数列{}na的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项与偶数项和之比为7:6，求中间项.3.已知等差数列88,1+32=,}{}{bannTSTSnbannnnnn求若和项和分别为的前、