财务风险管理Chapter_9信用风险计量模型

9本章大綱•莫頓（Merton）模型•KMV模型•信用矩陣（CreditMetrics）模型•KMV模型與信用矩陣模型的比較•信用矩陣模型與風險矩陣模型的關係信用風險計量模型的特色•廣泛採用數理模型、統計分析和資訊技術的強大運算能力。•特別注重投資組合的信用風險分析，都針對投資組合的信用風險衡量提出獨特的處理方法，尤其是資產間信用風險相關性的估計方法。•信用風險計量模型基本可區分為：結構式模型（StructuralModel）與縮減式模型（ReducedFormModel）兩種。結構式模型的特色•以公司資本結構的資料，包括資產價值、負債與權益的相對變動，藉以推估公司的違約機率。•公司的違約事件是內生的，亦即當變動的公司價值跌落預設的違約點時，公司即發生違約。縮減式模型的特色•由於公司資本結構裡的資產價值不易取得，因此縮減式模型即是將結構式模型加以簡化，去除資產價值變數與權益變數，僅留下負債變數。因此縮減式模型形式上就像一個債券評價模型。•縮減式模型除了債券價格變數外，還包含債券的到期期間、票面利率、殖利率等，因此將已知的債券價格、到期期間、票面利率資料代入模型中，即可反推債券殖利率。•進一步將殖利率減去無風險利率，即是信用價差。再由信用價差估計違約機率。9.1莫頓（Merton）模型•選擇權評價模型應用在衡量信用風險的技術上始於莫頓（RobertMerton）在1975年的文章。•假設公司資產價值VA服從幾何布朗運動：和為公司資產價值變動的飄移項與波動率。dzVdtVdVAAAAA莫頓（Merton）模型•公司權益可視為以公司資產為標的物之買權。•公司的負債則可視為放空以公司資產為標的物之賣權。圖9.1權益可被視為對公司資產為標的物的買權O權益價值(VE)EADA’資產價值(VA)權益的評價模型•根據Black–Scholes選擇權評價模型，在時點t的權益價值VE可改寫成：為權益的市場價值D為負債在到期日時的帳面價值為無風險利率τ=T-t是負債的到期期間與為標準化常態分配的累積機率密度函數。12()()rEAVVNdeDNdEVr)(1dN)(2dN風險中立下的負債違約機率•莫頓模型中，N(d2)是買權到期時仍處於價內的機率，就是股東執行買權而且仍控制公司的機率，同時也是負債不會發生違約的機率。•所以反過來[1–N(d2)]=N(-d2)則代表負債違約機率，亦即公司違約機率。計算實例9.1•假設均翰公司的目前的資產價值為$100，資產價值波動性為每年20%，評估期間為一年，無風險利率是10%。•到期時公司應償還的負債D為$99.46。•請估計公司ㄧ年的預期違約機率。解答•VA=100,σA=0.2,τ=1,D=99.46,r=0.1•風險中立下的違約機率427.0627.0)5.0()/ln(1221AAAAddrDVd%..)(4733334702dN9.1.5莫頓模型的變數估計•最重要的兩個變數：–公司資產價值VA–資產價值之波動性•無法直接觀察,必須經由權益價值加以推估•常見的三種估計公司資產價值與資產波動性的方法1.Ronn和Verma(1986)所提出的估計方法2.中研院院士J.C.Duan(段錦泉)所提出的資料轉換最大概似估計法(MLE)3.KMV的估計法AARonn-Verma估計法•莫頓模型有兩個未知變數：資產價值（VA）和資產波動性（），但卻只有一個方程式：•因此他們就利用伊藤定理（Ito’sLemma）對上式加以微分，而得到第二個方程式：A)()(2T1dDNedNVVrAEAEAEdNVV)(1Ronn-Verma估計法•如此一來，兩個未知數搭配兩個方程式，就可以求出隱含的資產市場價值與資產波動性，解決兩個變數不可觀察的困難9.2KMV模型•KMV模型是由KMV公司所發展，以莫頓模型為核心，配合其信用風險資料庫，發展出一套信用風險衡量模型，簡稱為KMV模型。•KMV模型以股票市價、股價波動度與負債價值，推估公司資產價值與違約間距，再依據公司資料庫計算歷史違約機率，進而求出受評公司預期違約機率。KMV模型•KMV模型採用「公司股價的資訊」來分析公司信用，當變動的資產價值市價低於負債到期應償還金額時，公司即會發生違約。•KMV公司以莫頓模型為基礎略加修改，藉以估算資產價值。然後再計算公司的違約間距（DistancetoDefault），簡稱DD。KMV模型•然後再以過去20年超過100,000家的違約資料作為樣本，求得不同違約間距(DD)所對應的實際違約機率，稱為公司的「預期違約頻率」（ExpectedDefaultFrequency，EDF）。•KMV模型主要的分析工具就是EDF，是授信企業在估計期內的違約機率，因此KMV模型又稱為EDF模型。KMV模型KMV模型藉由公司股價資訊來分析公司的違約機率，需經由三個步驟:1.估計公司資產價值與資產價值的波動性。2.計算出公司的違約間距(DD)3.判斷公司違約機率(EDF)圖9.2KMV違約機率分配模型資產價值時間0違約點資產價值的可能路徑DDEDF資產價值的機率分配T1.估計公司資產價值與資產價值波動性•KMV模型第一個步驟是估計公司資產價值與資產價值波動性•KMV模型以試誤法不斷重複以估計資產價值波動性，KMV公司宣稱經由這個程序估計的資產價值波動性僅是參考值，KMV公司內部會採取特殊的方法再進一步加以調整。但是KMV並未說明其方法。•實務上常以Ronn-Verma法來估計公司資產價值與資產價值波動性。2.計算出公司的違約間距(DD)•第二個步驟的違約間距是指公司資產價值距離「違約點」（DefaultPoint，簡稱DPT）的距離，計算出公司的違約間距將有助於判定公司的違約機率。•違約間距越大的公司，其資產價值遠高於違約點，發生違約的機率越低；•違約間距越小的公司，則公司的資產價值接近違約點，公司發生違約的機率越高。計算出公司的違約間距(DD)•KMV模型設定的「違約點DPT」等於公司短期負債加上二分之一的長期負債（兩者均以帳面價值表示），不同於莫頓模型對於違約點的設定。•公司的「違約間距DD」則是指資產價值(VA)與「違約點DPT」之間距離幾個資產價值的標準差(σA)，數學式表達如下：DD=(VA-DPT)/(VAσA)3.判斷公司違約機率(EDF)•KMV公司利用過去20年超過十萬家的美國公司作為樣本，其中包括兩千筆以上的違約或破產案件，計算各種違約距的違約機率，並稱此為「預期違約頻率」，亦即所估計的公司違約機率。•若歷史樣本中有5,000家違約距DD等於4的公司，其中30家一年之後發生違約，則依簡單的平均數概念，計算出EDF＝30/5,000＝0.006＝0.6%。•因此有了違約間距，就可以用來判斷公司的預期違約頻率，亦即KMV模型所估計的公司違約機率。判斷公司違約機率(EDF)•實務上使用KMV模型時，我們並沒有KMV公司的違約距資料庫，因此無法採取上述方法判斷公司的違約機率。•一般常用的方法則是在風險中立的假設下，利用莫頓模型的性質來估計公司的預期違約機率:PT=EDF=N(-d2)=N(-DD)(9.8)計算實例9.2•假設有一上市公司千千股份有限公司，其股價的市場總值為3,000萬元，而股價市場價值的波動值為每年40%，一年內即將到期的短期負債總值4,000萬元，長期負債總值12,000萬元，而無風險利率5%。•試根據KMV模型計算公司一年的預期違約機率。解答1.KMV模型設定的違約點，DPT=短期負債+(1/2)長期負債=10,000(萬元)。2.接著必須估計公司資產波動性，根據題目資訊，亦即解以下聯立方程式，以算出隱含的資產價值(VA)與資產價值波動性(σA)：)(000,10)(3000205.01dNedNVAAAdNV)()000,3(4.01其中，解上述聯立方程式，就可以求出隱含的資產價值(VA)與資產價值波動性σ分別是12,511萬元與9.6%。AAAddVd12))4.0(5.005.0()10000ln(12解答2.KMV模型中的違約間距：DD=($12,511-$10,000)/(9.6%x$12,511)=2.8所以公司資產價值目前距離其違約點有2.8個標準差。解答3.預期違約機率：•我們並沒有KMV公司的違約距資料庫，因此無法直接判斷公司的違約機率。•僅能利用莫頓模型的常態分配性質，在風險中立的假設下來估計公司的預期違約機率。•假設資產價值的分配是一常態分配，則以違約間距為2.8的情況計算，則期望違約頻率（EDF）可查表求出約為EDF=N(-DD)=N(-2.8)=0.25％。KMV與傳統方法的比較選擇權評價模式運用在信用風險衡量上，具有以下優點：•應用的資料更新快速•較具有前瞻性(ForwardLooking)•任何估計模型都可以應用•實證研究支持模型的違約預測能力，且估計過程相當客觀透明KMV模型應用上的限制•公司資產的市場與價格透明度的欠缺，使得資產價值的波動性不易衡量。•公司違約的歷史資料庫不容易獲得或過少•KMV模型並沒有考慮當公司面臨倒閉時，資產價值可能會因急於脫手等因素而變少。•KMV模型較適用於市場資料充分的上市公司•不同債務到期期限或有不同，使得債務價值估計上比較困難。KMV模型應用上的限制•選擇權評價公式的假設不ㄧ定可應用在信用風險的情境。•很多資產負債表外的或有負債可能無法計入違約點之中，但他們卻更有可能讓公司面臨更大的違約風險。•極端事件不容易用過去歷史資料來推斷。•當公司的財務槓桿變動頻繁時，股東權益的波動性會不穩定，造成EDF的跳動很大，使得EDF的準確性失真。9.3信用矩陣模型•1997年J.P.Morgan提出信用矩陣（CreditMetrics）模型，並據以求算出信用風險值(CreditatRisk，簡稱CaR或CVaR)。•信用矩陣是由J.P.Morgan公司主導，結合數家世界知名的銀行如美國銀行（BankofAmerican）、瑞聯銀行（UnionBankofSwitzerland）、瑞士銀行（SwissBankCorporation）、BZW、DeutscheMorganGrenfell、及KMV公司等金融機構與企業組織共同研究開發而成。信用矩陣模型•應用風險矩陣的方法，把風險值運用在信用風險管理方面，提出信用矩陣模型，以求算出信用風險值(CreditatRisk)•信用矩陣風險矩陣CVaR主要是在衡量在某一段時間之內，一定信賴水準下信用風險所造成的最大損失。•信用矩陣的CVaR與VaR非常相似，簡言之，CVaR是將VaR的「市場損失」改為「信用損失」•CVaR評估的期間通常也會比VaR要來的長。信用矩陣模型•不同於KMV模型僅以公司違約為唯一的信用事件，信用矩陣模型認為信用風險不單單只是違約而已，應該也要將信用品質改變的影響考慮進來，而違約只是信用品質改變的特例。•這樣的想法並非新創，然而信用矩陣模型是首套將信用品質變化、違約、回收率及違約相關性一起分析的信用計量模型。9.3.2單一資產的信用風險值•單一資產的信用風險值估計的步驟：1.確認債券信用評等的移轉機率矩陣(TransitionMatrix）2.依據債券的流通性或投資人風險偏好確定風險評估期間單一資產的信用風險值3.列示評估期間內，各信用等級所面對的遠期利率，藉以重估債券等級改變後的價值變化。若債券違約時，則需確認各信用等級債券的回收率。4.計算債券價值變化後的機率分配，以估算其信用風險值CVaR。舉例說明CVaR的估計過程•假設有一張無擔保債券，票面利率6%，五年後到期，信用等級為BBB級。則根據信用矩陣模型，此債券一年的的信用風險值CVaR為何?1.確認債券信用評等的移轉機率矩陣•首先確認債券信用等級的移轉矩陣，也就是預估債券發行者經過某段期間之後，信用評等升級或降級的機率。•我們以S&P一年期之信用等級移轉矩陣說明其代表涵義。•表9.1的第一欄表示債券期初的信用等級，表中的機率數字代表一年以後，某一等級