小波变换在图像处理中的应用

小波变换在图像处理中的应用I摘要小波变换是一种快速发展和比较流行的信号分析方法。经典的傅里叶变换能满足大多数信号处理的需求，但对于非平稳信号的分析却不能依靠傅里叶变换，因为它不能提供局部时间段上的频率信息。后来提出的加窗傅里叶变换解决了这一问题，但是它也具有很大的局限性，即当基本窗函数取定时，窗口的时间宽度和频率宽度就固定了，不会随着时域和频域的位移而变换。为了克服这个缺点，学者们经过努力探索，提出了小波变换的理论。近年来，小波变换作为一种变换域信号处理方法，得到了迅速发展，在信号分析、图像处理、地震勘探和非线性科学等诸多领域得到了广泛应用。小波变换在图像处理中的应用主要体现在以下几个方面：图像的压缩、去噪、融合、增强、分解与重构、边缘检测、检索以及人脸、指纹、虹膜的识别等。本文介绍了小波变换的基本理论及特征，包括连续小波变换、离散小波变换。基于小波变换的这些理论和特性，总结了其在图像处理方向的应用，最后对小波变换在图像处理方向的应用进行了总结和展望。关键字小波变换图像处理小波变换在图像处理中的应用II目录1研究背景和意义.................................................................................12小波变换理论及性质..........................................................................22.1连续小波变换...........................................................................22.2离散小波变换...........................................................................32.3小波变换的性质.......................................................................43小波变换在图像处理中的应用........................................................63.1图像压缩..................................................................................63.2图像去噪..................................................................................73.3图像融合..................................................................................93.4图像增强................................................................................103.5图像分解与重构.....................................................................113.6图像边缘检测.........................................................................133.7图像检索................................................................................144小波变换进行指纹识别..................................................................155小波变换进行人脸识别..................................................................166小波变换进行虹膜识别..................................................................177总结和展望.......................................................................................18参考文献.........................................................................................19小波变换在图像处理中的应用11研究背景和意义小波变换诞生于20世纪80年代,素有“数学显微镜”的美称，这也就决定了它在高科技研究领域重要的地位。目前,它在模式识别、图像处理、机器学习、语音处理、故障诊断、地球物理勘探、分形理论、空气动力学与流体力学上的应用都得到了广泛深入的研究,甚至在金融、证券、股票等社会科学方面都有小波分析的应用研究。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何的时频信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，小波变换在图像处理中的应用2在低频部分可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。小波分析在图像处理中有非常重要的应用，本文主要介绍了小波变换的基本理论及特点，并根据其特点研究了小波分析在图像处理中的应用。2小波变换理论及性质2.1连续小波变换定义：设φ(𝑡)∈𝐿2(𝑅)，其傅立叶变换为φ̂(ω̂)，当φ̂(ω)满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）Cφ=∫|φ̂(ω)|2|ω|∞−∞dω(1)时，我们称φ(t)为一个基本小波或母小波。将母函数φ(t)经伸缩和平移后得φa,b(t)=1√|a|φ(t−aa)a,b∈R;a≠0(2)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数f(t)∈L(R)的连续小波变换为Wf(a,b)=1√a∫f(t)φ(t−ba)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∞−∞dt(3)其重构公式（逆变换）为f(t)=1Cφ∫∫1a2∞−∞∞−∞Wf(a,b)φ(t−ba)dadb(4)小波变换在图像处理中的应用3由于基小波φ(t)生成的小波φa,b(t)在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以φ(t)还应该满足一般函数的约束条件∫|φ(t)|∞−∞dt∞(5)故φ̂(ω)是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，φ̂(ω)在原点必须等于0，即φ̂(0)=∫φ(t)∞−∞dt=0(6)为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，处理完全重构条件外，还要求小波φ(t)的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：A≤∑|φ̂(2−jω)|2∞−∞≤B(7)式中0𝐴≤𝐵∞。2.2离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波φa,b(t)和连续小波变换Wf(a,b)的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数φa,b(t)=|a|−12⁄φ(t−ba)这里b∈R，a∈R+，且a≠0，为方便起见，在离散化中，总设a只取正值，这样相容性条件就变为小波变换在图像处理中的应用4Cφ=∫|φ̂(ω)||ω|∞0dω∞(8)通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作a=a0j，b=ka0jb0，这里j∈Z，扩展步长a0≠1是固定值，为方便起见，总是假定a01（由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。所以对应的离散小波函数φj,k(t)即可写作φj,k(t)=a0−j2⁄φ(t−ka0jb0a0j)=a0−j2⁄φ(a0−jt−kb0)(9)而离散化小波变换系数则可表示为Cj,k=∫f(t)φj,k∗∞−∞(t)dt(10)其重构公式为f(t)=C∑∑Cj,k∞−∞∞−∞φj,k(t)(11)其中，C是一个与信号无关的常数。为保证重构信号的精度，网格点应尽可能密（即a0和b0尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数φj,k(t)和离散小波系数Cj,k就越少，信号重构的精确度也就会越低。2.3小波变换的性质连续小波变换具有如下性质：性质1（线性）：设f(t)=αg(t)+βh(t)，则WTf(a,b)=αWTg(a,b)+βWTh(a,b)小波变换在图像处理中的应用5性质2（平移不变性）：若f(t)↔WTf(a,b)，则f(t−τ)↔WTf(a,b−τ)。平移不变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。性质3（伸缩共变性）：若f(t)↔WTf(a,b)，则f(ct)↔1√cWTf(ca,cb)，其中c0。性质4（冗余性）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数φa,b(t)存在许多可能的选择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。由以上特性可知，小波变换可以获得信号的多分辨率描述，这种描述符合人类观察世界的一般规律，同时，小波变换具有丰富的小波基可以适应不同特性的信号。从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：（1）小波分解可以覆盖整个频域（提供一个数学上的完备描述）；（2）小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；（3）小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率；小波变换在图像处理中的应用6⑷小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）；3小波变换在图像处理中的应用小波变换是对傅里叶变换与短时傅里叶变换的一个重大突破，突破了傅里叶变换在瞬态和非平稳信号的局部特性方面的局限性，形成了具有时—频域局部化特性和快速变换算法的分析方法，又克服了短时傅里叶变换在单分频率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点。从小波变换的特征来看，小波变换是一种很好的图像的分解、表示方法，利用小波变换可以较好地实现图像的变换编码，从而在图像处理中得到了广泛的应用。3.1图像压缩对于图像来说，如果要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩。在同等的通信容量下，如果图像数据压缩后再进行传输，就可以传输更多的图像信息，也就是可以增加通信的能力。图像压缩研究的就是寻找高压缩比的方法，且压缩后图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原始信号，并且在压缩、传输、恢复过程中，还要求图像的失真度小，便于对图像进行分类、识别等。一幅图像经过小波分解后，可得到一系列的不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不同的，其中的高频部分代表图像的轮廓、边缘，而低频部分