离散型随机变量的分布列

1离散型随机变量的分布列1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2．两个特殊分布(1)两点分布X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，即2X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()(4)超几何分布的模型是放回抽样．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是()A.ξ－101P0.30.40.4B.ξ123P0.40.7－0.1C.ξ－101P0.30.40.3D.ξ123P0.30.10.4答案：C3若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________．答案：0.8探究点1离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O型血的有15人，A型血的有10人，B型血的有12人，AB型血的有8人．将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X，求X的分布列.【解】X的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝C115C145＝13，P(X＝2)＝C110C145＝29，P(X＝3)＝C112C145＝415，P(X＝4)＝C18C145＝845.故X的分布列为X1234P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义．(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)．(3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x，y.设ξ为随机变量，若xy为整数，则ξ＝0；若xy为小于1的分数，则ξ＝－1；若xy为大于1的分数，则ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列．4解：(1)依题意，数对(x，y)共有16种情况，其中使xy为整数的有以下8种：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，所以P(ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1.由(1)知P(ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P(ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P(ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ－101P381218探究点2离散型随机变量的分布列的性质设随机变量X的分布列P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)求P(110＜X＜710)．【解】(1)由P(X＝k5)＝ak，k＝1，2，3，4，5可知，k＝15P(X＝k5)＝k＝15ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)由(1)可知P(X＝k5)＝k15(k＝1，2，3，4，5)，所以P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45.5(3)P(110＜X＜710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ck（k＋1），k＝1，2，3，4，c为常数，则P23＜X＜52的值为()A.45B.56C.23D.34解析：选B.由题意c1×2＋c2×3＋c3×4＋c4×5＝1，即45c＝1，c＝54，所以P23＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×11×2＋12×3＝56.故选B.探究点3两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．【解】(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C13C12C11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝6206＝310.(2)由题意知X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝C33C36＝120，P(X＝1)＝C13C23C36＝920，P(X＝2)＝C23C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120，所以X的分布列为X0123P1209209201201．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P(η＝1)＝C25C36＝12，所以随机变量η的分布列为η01P12122．[变条件]将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝C13×C12×C11×A3363＝16.(2)由题意知X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝3363＝18，P(X＝1)＝C13×3×3×363＝38.P(X＝2)＝C23C13×3×363＝38，P(X＝3)＝3363＝18.所以X的分布列为X01237P18383818求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．(2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中，m＝min{M，n}，且0≤n≤N，0≤k≤n，0≤k≤M，0≤n－k≤N－M.(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C33C34C36C36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C13C33C46＝15.所以X的分布列为X123P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()8A．0B.13C.12D.23解析：选B.设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23.故P(ξ＝0)＝1－p＝13.2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125解析：选C.X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.3．随机变量η的分布列如下η123456P0.2x0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________．解析：由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.答案：00.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2)．解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3.则P(ξ＝0)＝C04C33C37＝135，P(ξ＝1)＝C14C23C37＝1235，P(ξ＝2)＝C24C13C37＝1835，P(ξ＝3)＝C34C03C37＝435.所以随机变量ξ的分布列为ξ01239P13512351835435P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝135＋1235＝1335.知识结构深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数．2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N、M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M、N、n、k的含义.[A基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．5B．9C．10D．25解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P(X＝－2)＝14，P(X＝3)＝12，P(X＝5)＝112，则P(X＝0)的值为()A．0B.14C.16D.18解析：选C.因为P(X＝－2)＋P(X＝0)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝1，即14＋P(X＝0)＋12＋112＝1，所以P(X＝0)＝212＝16，故选C.1