高考数学-《导数的综合应用备考策略》

导数的综合应用主标题：导数的综合应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：导数与方程，导数与不等式，导数应用，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一导数在方程(函数零点)中的应用【例1】已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．审题路线(1)由导数的几何意义，知f′(a)＝0且f(a)＝b，解方程得a，b的值．(2)两曲线的交点问题，转化为方程x2＋xsinx＋cosx－b＝0.通过判定零点个数来求解．解由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝2x＋sinx＋x(sinx)′－sinx＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsinx＋cosx－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cosx)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)1－b所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b0时，即b1时，有g(0)＝1－b0，g(2b)＝4b2＋2bsin2b＋cos2b－b4b－2b－1－b0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b1时，y＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．【备考策略】(1)在解答本题(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．(2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.考点二导数在不等式中的应用【例2】已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)0.审题路线(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当m≤2时，转化为求f(x)min，证明f(x)min0.解(1)易知f′(x)＝ex－1x＋m.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，∴f′(x)＝ex－1x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，且f′(0)＝0.当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x0时，f′(x)0.故f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)当m≤2，x－m时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)．故只需证明当m＝2时，f(x)0.当m＝2时，f′(x)＝ex－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)＝1e－10，f′(0)＝1－120.所以f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且－1x00.于是y＝f(x)在x＝x0处，取到最小值．又f′(x0)＝0，得＝1x0＋2，两边取对数得ln(x0＋2)＝－x0.故f(x)≥f(x0)＝－ln(x0＋2)＝1x0＋2＋x0＝x0＋12x0＋20.综上可知，当m≤2时，f(x)0成立．【备考策略】(1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当m＝2时，f(x)0；二是依据f′(x0)＝0，准确求f(x)＝ex－ln(x＋2)的最小值．(2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．考点三导数与生活中的优化问题【例3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256xm＋mx＋2m－256.(2)由(1)知，令f′(x)＝0，得＝512，所以x＝64.当0x64时，f′(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640，f′(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝mx－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使工程的费用y最小．【备考策略】求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.