导数的综合应用个性化辅导讲义

个性化辅导讲义1课题导数的综合应用教学目标1、能利用导数研究函数的单调性2、会用导数求函数的极大值、极小值，以及函数的最大值和最小值3、会用导数解决某些实际问题重点、难点重点：导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等难点：1、应用问题（初等方法往往技巧性要求比较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型2、解决将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计的综合问题，是本节的难点考点及考试要求考点：1、导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等2、1、应用问题（初等方法往往技巧性要求比较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型3、解决将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计的综合问题（1）函数、导数、方程、不等式综合在一起解决单调性、参数范围等问题（2）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题（3）利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线有关的问题（4）通过构造函数，以导数为工具证明不等式（5）导数与解析几何或函数图像的混合问题是一种重要类型，也是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。考试要求：1、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间桑函数的最大值、最小值3、会用导数解决某些实际问题教学内容知识框架一、函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果，那么f(x)在这个区间内为常数个性化辅导讲义2二、函数的极值与导数1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．三、函数的最值1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的．(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点一：函数的单调性与导数典型例题已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．知识概括、方法总结与易错点分析1、利用导数判断函数单调性是导数重要应用之一．常见形式为：(1)求函数单调区间；(2)已知函数的单调区间，求有关参数的取值范围．(3)利用导数与函数单调性的关系解决有关函数与导函数图象问题．2、利用导数研究函数的单调性一般步骤：（1）确定函数的)(xf的定义域（2）求导数)('xf（3）在函数)(xf的定义域内解不等式0)('xf，其解集对应的区间都是增区间，补集对应的区间都是间区间针对性练习1、设函数f(x)＝x(ex－1)－12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．2、讨论函数)1ln(2)(xxxf的单调性考点二：根据函数的单调性确定参数的取值范围个性化辅导讲义3典型例题已知函数1)(3axxxf（1）若函数)(xf在R上单调递增，求实数a的取值范围（2）是否存在实数a，使)(xf在)1,1(上单调递增？若存在，求出a；若不存在，说明理由知识概括、方法总结与易错点分析解决这类问题的思路：若可导函数在),(ba上单调递增，则0)('xf恒成立若可导函数在),(ba上单调递减，则0)('xf恒成立然后利用恒成立问题解决针对性练习：设函数21)(axxexfx（1）若0a，求)(xf的单调区间（2）若当0x时0)(xf，求a的取值范围考点三：函数的极值与导数设a0，函数f(x)＝ax＋bx2＋1，b为常数．(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；(2)若函数f(x)的极大值为1，极小值为－1，试求a值．知识概括、方法总结与易错点分析求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．针对性练习：个性化辅导讲义4若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝______.考点四：函数的最值与导数已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．知识概括、方法总结与易错点分析1．函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值．2．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．针对性练习：已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在[－32，1]上的最大值和最小值．考点五：导数的综合应用设a≥0，f(x)＝x－1－ln2x＋2alnx(x0)．(1)令F(x)＝xf′(x)，讨论F(x)在(0，＋∞)内的单调性并求极值；(2)求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.知识概括、方法总结与易错点分析欲证不等式f(x)g(x)，设F(x)＝f(x)－g(x)，即证F(x)min0，而欲证方程f(x)＝0有多少个解，即求f(x)的极值，结合图象，通过极值的正负决定解的个数，注意：函数图象要连续．综合应用是指结合方程、不等式其他分支内容的综合考查，此类问题一般综合性强，涉及面广，较繁杂，难度一般也较大，主要体现形式为解答题，内容形式多为构造函数、利用导数研究方程根的分布，两曲线交点个数，利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，求不等式有解或恒成立时参数的取值．针对性练习：1、已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.2、已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1.求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.个性化辅导讲义53．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．巩固作业个性化辅导讲义6一、选择题1．f(x)＝5x2－2x的单调增区间是()A．(15，＋∞)B．(－∞，15)C．(－15，＋∞)D．(－∞，－15)2．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()A．2B．1C．0D．由a确定3．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A．－1B．0C．1D．±14．若函数g(x)＝x3－ax2＋1在区间[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．a≥3B．a3C.32a3D.32≤a≤35．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，f′(x)为其导函数，如右图是函数y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别为()A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(2)与f(－2)D．f(－2)与f(2)6．(2011·郑州第一次调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上恒大于零的函数，且当x0时，有f′(x)g(x)f(x)g′(x)，若f(1)＝0，则不等式f(x)0的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(0,1)D．(－1,0)∪(1，＋∞)二、填空题7．函数f(x)＝x＋9x的单调减区间是________．8．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元)之间的关系式为P＝24200－15x2，且生产x吨的成本为50000＋200x元，则当利润达到最大时该厂每月生产________个性化辅导讲义7吨产品．9．若函数f(x)＝x3－3a2x＋1的图象与直线y＝3只有一个公共点，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．(2010·抚顺二模)已知函数f(x)＝ln(x2＋a)(a∈R)．(1)求在函数f(x)图象上点A(t，ln(t2＋a))处的切线l的方程；(2)记切线l在y轴上的截距为g(t)，讨论g(t)的单调递增区间．11．(2011·山东德州模拟)已知f(x)＝(x2＋ax＋a)e－x(a≤2，x∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极大值为4e－2，求出a的值．12．(2010·西城抽样测试)已知函数f(x)＝(1＋ax)ex，其中a0.(1)求函数f(x)的零点；(2)讨论函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上的单调性；(3)在区间(－∞，－a2]上，f(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．