第七章-线性变换练习题参考答案

1第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1．设123,,是线性空间V的一组基，V的一个线性变换在这组基下的矩阵是33112233(),,ijAaxxxV则在基321,,下的矩阵B＝1,TAT而可逆矩阵T＝001010100满足1,BTAT在基123,,下的坐标为123xAxx.2．设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间nP的线性变换:(),nAP,则1(0)＝|0,nAP，1dim(0)＝nr，dim()nP＝r.3．复矩阵()ijnnAa的全体特征值的和等于1niiia，而全体特征值的积等于||A.4．设是n维线性空间V的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为__数乘__变换.5．数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间()LV为2n维线性空间，它与nnP同构.6．设n阶矩阵A的全体特征值为12,,,n，()fx为任一多项式，则()fA的全体特征值为12(),(),,()nfff.7．设2231A，则向量11是A的属于特征值4的特征向量．8．若100001011A与1010101kBk相似，则k=-1/2．9．设三阶方阵A的特征多项式为322)(23f，则||A3．210．n阶方阵A满足AA2，则A的特征值为0和1．11．线性空间3R上的线性变换为A),,(321xxx132321(2,33,2)xxxxxx，变换A在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为102033210.二、判断题1．设是线性空间V的一个线性变换，12,,,sV线性无关，则向量组12(),(),,()s也线性无关.（错）2．设为n维线性空间V的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝n，有1()(0).VV（错）未必有1()(0).VV3．在线性空间2R中定义变换：(,)(1,)xyxy，则是2R的一个线性变换.（错）零向量的像是（1,0）4．若为n维线性空间V的一个线性变换，则是可逆的当且仅当1(0)＝｛0｝.（正确）是可逆的当且仅当是双射.5．设为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若()W是V的一个子空间，则W必为V的子空间.（错）如平面上的向量全体在x轴上的投影变换，W为终点在与x轴平行而不重合的直线上的向量全体，()W为x轴上的向量全体，是V的一个子空间，但W不是V的子空间.6．n阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是0||A．（正确）7．已知1PBPA，其中P为n阶可逆矩阵，B为一个对角矩阵．则A的特征向量与P有关．（正确）1PAPB，P的列向量为A的特征向量.8．为V上线性变换，n,,,21为V的基，则)(,),(),(21n线性无关．（错）当可逆时无关，当不可逆时相关.9．为V上的非零向量，为V上的线性变换，则})(|{)(1是V的子空间．（错）不含零向量.三、计算与证明1．判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使1TAT成对角形.3133313331A解：先求矩阵A的特征值与特征向量.2133313(7)(2)331EA.矩阵A的特征值为12,37,2.当17时，解方程组1231231236330,3630,3360.xxxxxxxxx得矩阵A属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,1,1)'.当2,32时，解方程组1231231233330,3330,3330.xxxxxxxxx得矩阵A属于特征值-2的线性无关特征向量为23(1,1,0)',(1,0,1)'.矩阵A有三个线性无关的特征向量.因此矩阵A可对角化，取矩阵111110101T有1722TAT2．在线性空间nP中定义变换：122(,,,)(0,,,)nnxxxxx（1）证明：是nP的线性变换.（2）求()nP与1(0).（1）证明：112222(,,,)(0,,,)nnnnxyxyxyxyxy221212(0,,,)(0,,,)(,,,)(,,,)nnnnxxyyxxxyyy412122((,,,))(,,,)(0,,,)nnnkxxxkxkxkxkxkx212(0,,,)(,,,)nnkxxkxxx.所以是nP的线性变换.（2）2()(0,,,)|,2,,.nniPxxxPin.111(0)(,0,,0)|.xxP3．设aA33242111与bB00020002相似．（1）求ba,的值；（2）求可逆矩阵，使BAPP1．解：(1)由矩阵A与B相似可得，矩阵A与B有相同的迹与行列式，因此有45,466.baba所以5,6ab.(2)先求矩阵A的特征值与特征向量.2111||242(6)(2)335EA特征值为1,232,6.当1,22时，解方程组1231231230,2220,3330.xxxxxxxxx得矩阵A属于特征值-2的线性无关特征向量为12(0,1,1)',(1,0,1)'.当16时，解方程组12312312350,2220,330.xxxxxxxxx得矩阵A属于特征值7的线性无关特征向量为1(1,2,3)'.因此可取矩阵5011102113P，有BAPP1.4．令nnP表示数域P上一切n级方阵所成的向量空间，取定,nnABP，对任意的nnPX，定义()''XAXABXB.证明是nnP上的一个线性变换.证明：对任意的,,nnXYPkP，有()'()'()''''()(),XYAXYABXYBAXABXBAYABYBXY()'()'()('')()kXAkXABkXBkAXABXBkX.因此是nnP上的一个线性变换.