江苏省无锡市天一中学届高三4月月考试卷数学

江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合}02{},012{2xxBxxxA，则BA▲．2．如果复数2()(1)mimi是实数，则实数m▲．3．若命题“Rx，使得2(1)10xax”为假命题，则实数a的范围▲．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6abc，则输出的结果为▲．5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为▲．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若tan21tanAcBb，则角A的大小为▲．7．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)(a+3b)=33，则a与b的夹角为▲．8．已知双曲线C:22221(0,0)xyabab的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为▲．9．已知数列na的前n项和Sn=n2—7n,且满足16＜ak+ak+1＜22,则正整数k=▲．10．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，四面体11DACB的体积为▲．11．曲线13axxy的一条切线方程为12xy，则实数a=▲．12．已知函数22log(1),0,()2,0.xxfxxxx若函数()()gxfxm有3个零点，则实数m的取值范围是▲．13．当210x时，21|2|3xax恒成立，则实数a的取值范围为▲．14．已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc≤≤，如果mb)(*Nm，则符合条件的三角形共有▲个（结果用m表示）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)设函数()fx·ab，其中向量(,cos2)mxa，(1sin2,1)xb，xR，且()yfx的图象经过点π24，．（1）求实数m的值；（2）求()fx的最小正周期；（3）求()fx在[0，2]上的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，平行四边形ABCD中，CDBD，正方形（2012/4/23）ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是,AEDF的交点.（1）求证：//GH平面CDE；（2）求证：BD平面CDE．17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．18．(本小题满分16分)已知圆C：034222yxyx；（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点),(11yxP向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．19．(本小题满分16分)已知数列na的首项135a，13,1,2,21nnnaana．（1）求证：数列11na为等比数列；(2)记12111nnSaaa，若100nS，求最大正整数n．（3）是否存在互不相等的正整数,,msn，使,,msn成等差数列且1,1,1msnaaa成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知二次函数)(xg对任意实数x都满足)1()(xgxg，)(xg的最小值为89且1)1(g．令89ln)21()(xmxgxf（0,xRm）．（1）求)(xg的表达式；（2）若0x使0)(xf成立，求实数m的取值范围；（3）设em1，xmxfxH)1()()(，证明：对1x、],1[2mx，恒有1|)()(|21xHxH．江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合}02{},012{2xxBxxxA，则BA（2,3）．2．如果复数2()(1)mimi是实数，则实数m－1．3．若命题“Rx，使得2(1)10xax”为假命题，则实数a的范围(1,3)．4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6abc，则输出的结果为6．5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为23．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若tan21tanAcBb，则角A的大小为3．7．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)(a+3b)=33，则a与b的夹角为120．8．已知双曲线C:22221(0,0)xyabab的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为12．9．已知数列na的前n项和Sn=n2—7n,且满足16＜ak+ak+1＜22,则正整数k=8．10．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，四面体11DACB的体积为31．11．曲线13axxy的一条切线方程为12xy，则实数a=2．12．已知函数22log(1),0,()2,0.xxfxxxx若函数()()gxfxm有3个零点，则实数m的取值范围是(0,1)．13．当210x时，21|2|3xax恒成立，则实数a的取值为1322a．14．已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc≤≤，如果mb)(*Nm，则符合条件的三角形共有2)1(mm个（结果用m表示）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)设函数()fx·ab，其中向量(,cos2)mxa，(1sin2,1)xb，xR，且()yfx的图象经过点π24，．（1）求实数m的值；（2）求()fx的最小正周期；（3）求()fx在[0，2]上的单调增区间．解：（1）()(1sin2)cos2fxabmxx，………………3分∵图象经过点π24，，∴πππ1sincos2422fm，解得1m．………………5分（2）当1m时，π()1sin2cos22sin214fxxxx，………………7分∴22T………………9分（3）]2,0[x,],0[2x,∴]45,4[42x………………11分由2424x,得80x………………13分∴()fx在[0，2]上的单调增区间为]8,0[.………………14分16．(本小题满分14分)如图，平行四边形ABCD中，CDBD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是,AEDF的交点.（1）求证：//GH平面CDE；（2）求证：BD平面CDE．证明：⑴G是,AEDF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，∴EAB中，ABGH//，------------------------3分CDAB//，∴//GHCD，又∵,CDCDEGHCDE平面平面∴//GH平面CDE-----------------------7分⑵平面ADEF平面ABCD，交线为AD，∵ADED，EDADEF平面∴ED平面ABCD，--------------------10分∴BDED，又∵CDBD，CDEDD∴CDEBD平面----------------------14分17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．18．(本小题满分16分)已知圆C：034222yxyx；（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）若圆Q与圆C关于直线03yx对称，求圆Q的方程；（3）从圆C外一点),(11yxP向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．解：（1）∵切线在x轴，y轴上的截距相等，∴第一种情况：切线的斜率是±1．----------------------1分分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或△法，解得切线的方程为：x＋y－3=0,x＋y＋1=0,----------------------2分∴第二种情况：切线经过原点（0,0）．----------------------3分设此时切线斜率为k，直线为kx-y=0，用点到直线的距离公式可求得62k，解得切线方程0)62(yx----------------------5分综上，此圆截距相等的切线方程为x＋y－3=0,x＋y＋1=0,0)62(yx.------------6分(2)将圆的方程化成标准式（x＋1)2＋(y－2)2=2，圆心C（－1，2），半径r=2，圆心C（－1，2）关于直线03yx的对称点Q（5，－4），圆Q半径r=2-----9分所以圆Q得方程为（x－5)2＋(y+4)2=2--------10分(3)∵切线PM与CM垂直，∴|PM|2=|PC|2－|CM|2，又∵|PM|=|PO|，坐标代入化简得2x1－4y1＋3=0．----------------------12分|PM|最小时即|PO|最小，而|PO|最小即P点到直线2x1－4y1＋3=0的距离，即3510．----13分从而解方程组2211119202430xyxy，----------------------15分得满足条件的点P坐标为（－310，35）．----------------------16分19．(本小题满分16分)已知数列na的首项135a，13,1,2,21nnnaana．（1）求证：数列11na为等比数列；(2)记12111nnSaaa，若100nS，求最大正整数n．（3）是否存在互不相等的正整数,,msn，使,,msn成等差数列且1,1,1msnaaa成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．（3）假设存在，则22,(1)(1)(1)mnsmnsaaa，……………………10分∵332nnna，∴2333(1)(1)(1)323232nmsnms．…………………12分化简得：3323mns，……………………………13分∵332323mnmns，当且仅当mn时等号成立．……………………15分又,,mns互不相等，∴不存在．……………………16分（Ⅱ）xmxxmxgxfln2189ln)21()(2（0,xRm）①当0m时，由对数函数性质，)(xf的值域为R；②当0m时，2)(2xxf，对0x，0)(xf恒成立；③当0m时，由0)('xmxxf得mx，…………………7分列表：x),0(mm),(m)('xf—0+)(xf减极小增这时，mmmmfxfln2)()]([min．00,0ln20)]([minmemmmmxf．综合①②③若0x，0)(xf恒成立，则实数m的取值范围为]0,(e．故存在0x使0)(xf成立，实数m的取值范围为),0(],(e．………10分（Ⅲ）证明：因为对],1[mx，0)