信号与系统习题解

信号与系统习题解第二章1.从本章所讲的各讲中挑出你认为比较新的概念。2.若物理信号()xt的频谱存在，记为()Xf，考虑截断信号(),||()20,TTxttxt其它，1,||()20,TTtRt其它在如下情况下的频谱(1)将截断信号()Txt视为非周期模拟信号求其频谱()TXf;(2)将截断信号()Txt视为周期为T的模拟信号求其频谱()TXn;(3)将截断信号()Txt视为)()()(tRtxtxTT，求其频谱的解析表达式，并由此推出积分变换sin()()()()()fsTKXfXsdsfs的性质。由此讨论各种观点下的频谱的表现形式以及内在规律。解：(1)2222)(()()TTTTjftjftfXxtedtxtedt(2)2222()1()jntTTnnTjntTTnTxtCeCxtedtT(3)2()2()22ˆ()()*()ˆ()()()()()sin()()()TTTjfstTTjfstTXfXfRfXsRfsdsXsRtedtdsXsedtdsfsTXsdsfs积分变换sin()()()()()fsTKXfXsdsfs将信号()xt的频谱化为截断信号()Txt的频谱。当视信号为非周期的模拟信号时，其频谱是模拟的；当视信号为周期的模拟信号时，其频谱是离散的；并且二者有如下关系1()nnCXTT当视信号为两个信号的乘积时，其频谱为这两个信号频谱的卷积；利用这三种观点求出的频谱，在本质上是一致的。3.给出帕色伐尔定理的不同表示形式(周期信号与非周期信号)。解：(1)非周期信号记()[()],()[()]XfFTxtYfFTxt则()()()()xtytdtXfYfdf(2)周期信号指数表示设()Txt和()Tyt为周期为T的周期函数且22(1)(2)(),()nnjtjtTTTnTnnnxtCeytCe则22(1)(2)222222(1)(2)222(1)(2)22(1)(2)()()11TTnmjtjtTTTTTTnmnmTnmjtjtTTTnmnmTnmjtTTnmnmnnnxtytdtCeCedtTCeCedtTTCCedtTTCC(3)周期信号正余弦表示设()Txt和()Tyt为周期为T的周期函数且(1)(1)(1)01(2)(2)(2)0122()cossin222()cossin2TkkkTkkkakxkxxtabTTakxkxytabTT则22(1)(2)(1)(1)(2)(2)002112(1)(2)(1)(2)(1)(2)00(1)(2)(1)(2)(1)(2)00()()2222cossincossin224222TTTTTTkkkkkkkkkkkkkkkkxtytdtaakxkxkxkxababdtTTTTaaTTaabbaaTaabb4.给出图解法的实施步骤、数学证明中的辅助函数及其任意阶广义导函数。见讲义5.证明以下普通函数的广义极限均为()t1||(1)()20tgt其它1||(1)||(2)()0||ttgtt||11||21(3)()0tetegt其它2()1||(4)()0||teterfgtt证明：设ft是任意实的连续可积函数，则(1)1()()()21()2()[,]0,()()()(0)()()()()gtftdtftdtfdtfgtftdtfftftdtgtt(2)1||()()(1)()1||()(1)()[,]0,()()()(0)()()()()tgtftdtftdttfdtfgtftdtfftftdtgtt(3)||1||11()()()2(1)1()2(1)()[,]0,()()()(0)()()()()ttgtftdteftdtefedtefgtftdtfftftdtgtt(4)22()()1()()()()1()()()[,]0,()()()(0)()()()()ttgtftdteftdterffedterffgtftdtfftftdtgtt6.利用傅立叶正反变换可以导出一种非常广义的导数，其定义为()(){2()},()(())defDxtIFTjfXfXfFTxt因为傅立叶变换存在的条件相当低，所以很多不一定连续的函数也都存在如此定义的广义导数。请模仿经典导数，列出该广义导数的性质。解：1.()()()()()()DxytDxtDyt证明：()(){2(()())}{2()}{2()}()()()()DxytIFTjfXfYfIFTjfXfIFTjfYfDxtDyt2.()()()()DxtDxt3.()()()()()()()()DxytxtDytDxtyt证明：()(){2(()*())}DxytIFTjfXfYf而2(()*())2()()2()()2()()()2()()2()*(())2(())*()jfXfYfjfXYfdjXfYfdjXfYfdjXYfdjXffYfjfXfYf所以()(){()*(2())(2())*()}(){2()}{2()}()()()()()()()DxytIFTXfjfYfjfXfYfxtIFTjfYfIFTjfXfytxtDytDxtyt……第三章1.在一般情况下，按L-范数收敛强于按2L-范数收敛，但在特殊情况下，按2L-范数收敛也能推出按L-范数收敛。比如令2L为所有能量有限且其频谱()Xf满足()||()0XffXf其它的信号(),(,)xtt组成的线性空间(按照通常的加法和数乘)，按内积(,)()()xyxtytdt诱导的范数12||||(,)xxx成为一个Hilbert空间。它与有限区间(,)上的一切平方可积函数构成的Hilbert空间2(,)L等距同构。证明2()xtL，当2|()()|0,()nxtxtdtn时，必有(,)sup|()()|0,()tnxtxtn。证明：由于221222|()()||(()())||(()())||()()||()()|2|()()|2|()()|jftnnjftnnnSchwartsinequalitynPaservalequalitynxtxtXfXfedfXfXfedfXfXfdfXfXfdfXfXfdfxtxtdt1222||()()||nxtxt从而(,)2sup|()()|2||()()||tnnxtxtxtxt因此当2|()()|0nxtxtdt时，必有(,)sup|()()|0tnxtxt。2.设()Xf为信号()xt的频谱，()xn为信号()xt的采样序列，记0()()nnXfXf，2()()jfnnXfxne，证明0()()XfXf。证明：由于nnfXfX)()(0是以1为周期的函数，即)()1(00fXfX，设20()jfmmmXfCe为)(0fXFourier级数展开式，其中122102122121221212()212122122()()()()()()(jfmmjfmnjfmnnnjmnnnjmnnjfmCXfedfnXfedfnXfedfXedXedXfedfxm)从而得到220()()()()jfmjfnmnXfxmexneXf3.设()xn为信号()xt的采样序列，如果再以1(2为正整数)抽出子列1{()}xm，证明111111sin()()()()mtmxtxmtm与sin()()()()ntnxtxntn满足12111|2()()2|()|fxtxtXfdf，其中()Xf是()xt的频谱。证明：因为1111sin()()()()sin()()()()()nnmnxmxnmnmnxnmnxmxm所以子列1{()}xm可以认为是对()xt的采样，于是由定理3.3可得12111|2()()2|()|fxtxtXfdf4.当取(,)()MkxtJxt时，其中()MJ是M阶的第一类Bessel函数，相应的采样定理如何表述？解：假设MR且1,0ML，1234,,,tttt是方程0MJLx的正根，则12,MMJtxJtx在区间0,L上构成一个完备正交系。即当ijtt时，00LMiMjxJtxJtxdx设xt是上的一个信号，且存在区间0,L的一个函数x，使得0LMxtxJtxxdx则xt可以按如下方式重构:1nnnxtxtSt020LMMnnLMnxJtxJtxdxStxJtxdx5.当取(,)()tkxtPx时，其中()tPx是Legendre函数，相应的采样定理又如何表述？解：当0,1,2,3t时，012(),(),()PxPxPx在区间[1,1]上构成一个完备正交系。即当mn时，110mnPxPxdx。设()xt是上的一个信号，且存在区间[1,1]上的一个函数()x，使得11txtPxxdx则()xt可以按如下方式重构：011121nntnnnxtxnStPxPxdxStPxdx第四章1.用一条主线将本章介绍的所有变换的物理背景和数学生长点串在一起。2.利用复变函数的知识给出几种求反Z-变换的方法。解：设()()nnXzxnz收敛域为rzR(1)留数法把()Xz在rzR内展为洛朗级数()nnnXzcz其中11()0,1...2nnXzcdznjz:()zrR对照两式有111()()Re(())2knnnzakxncXzzdzsXzzj其中ka为1()nXzz在区域：()zrR