沪科版八年级数学下册第十八章-勾股定理复习训练

第十八章勾股定理类型之一利用勾股定理求边长1．如图18－X－1，AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，∠ACB＝90°，AB＝13，则BC的长为()图18－X－1A．8B．10C．12D．162．一个直角三角形有两边长分别为6和8，下列说法正确的是()A.第三条边长一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三条边长可能为103．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离为()A.365B.1225C.94D.3334．如图18－X－2，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD翻折180°，点C落在点E的位置，如果BC＝6，那么线段BE的长度为()图18－X－2A．6B．62C．22D．325．如图18－X－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为()图18－X－3A．16B．15C．14D．13类型之二利用勾股定理的逆定理判定直角三角形6．下列四组线段中，能组成直角三角形的是()A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝57．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A．三内角之比为1∶2∶3B．三边长的平方之比为1∶2∶3C．三边长之比为3∶4∶5D．三内角之比为3∶4∶58．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式a－2＋|b－2|＋(c－8)2＝0，则△ABC的形状为____________．9．如图18－X－4所示，在4×3的正方形网格中，从点A出发的四条线段AB，AC，AD，AE，它的另一个端点B，C，D，E均在格点上(正方形网格的交点)．(1)若每个小正方形的边长都是1，分别求出AB，AC，AD，AE的长度(结果保留根号)；(2)在AB，AC，AD，AE四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指出是哪三条线段，并说明理由．图18－X－4类型之三综合运用勾股定理及其逆定理解决问题10．如图18－X－5，在△ABC中，CD是AB边上的高，已知AC＝20，BC＝15，BD＝9，下列结论中错误的是()图18－X－5A．CD＝12B．AD＝16C．∠ACB＝90°D．S△ACB＝30011．如图18－X－6，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上的一点，且BD＝12cm，CD＝16cm.求△ABC的周长．图18－X－612．如图18－X－7所示，修公路遇到一座山，于是需要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过点C作直线AB的垂线l，过点B作一条直线(在山的旁边经过)，与l相交于点D.经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求应在直线l上距离点D多远的C处开挖(参考数据：2≈1.414，精确到1米)．图18－X－713．如图18－X－8所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达点B，然后沿北偏西30°方向走了500米到达目的地点C.求A，C两点之间的距离．图18－X－8类型之四勾股定理中的数学思想14．如图18－X－9，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm.将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为()图18－X－9A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm215．2018·东营如图18－X－10所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短路程是()图18－X－10A．31＋πB．32C.34＋π22D．31＋π216．如图18－X－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动．设运动的时间为ts.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．图18－X－11专题训练勾股定理及其逆定理的易错题易错点一审题不仔细，受思维定式影响1．已知△ABC的三边长为整数，且较小两边的长分别为3和4，则最大边的长为()A．5B．6C．5或6D．无法确定2．若一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()A．5B.7C.5D．5或73．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则()A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．△ABC不是直角三角形4．在平面直角坐标系中有两点A(－2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点．若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有()A．1个B．2个C．4个D．6个5．工人师傅从一根长150cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm，80cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为()A．50cmB．207cmC．100cmD．207cm或100cm6．如图3－ZT－1，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为________．图3－ZT－17．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AC＝12，求AB边的长．8．在△ABC中，a，b，c为其三边长，且满足a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC是不是直角三角形．9．【阅读理解】海伦(Heron)公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p＝a＋b＋c2，那么三角形的面积S＝p（p－a）（p－b）（p－c）.【问题解决】(1)如图3－ZT－2，在△ABC中，BC＝2.5，AC＝6，AB＝6.5，请用“海伦公式”求△ABC的面积；(2)小亮同学认为(1)中的运算太烦琐，并想到了一种不同的解法．你知道他想到了什么方法吗？请写出来．图3－ZT－2易错点二不能正确理解勾股定理及其逆定理10．下列各组数据中的三个数，可作为直角三角形三边长的是()A．1，2，3B．32，42，52C.1，2，3D.3，4，511．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛，两岛相距34海里．你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？易错点三考虑问题不全面，忽视分类讨论12．若一个直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2－12a＋36＋(b－8)2＝0，则这个直角三角形的第三条边长c＝____________．13．在△ABC中，AB＝22，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接CD，则线段CD的长为________．14．在平面直角坐标系中，已知点A(－5，0)，点B(5，0)，点C在坐标轴上，且AC＋BC＝6，写出满足条件的点C的坐标：_________________________________________.15．在等腰三角形ABC中，腰AB的长为5，AB边上的高CD＝4，请你画出图形，直接写出线段BD的长，并画出体现解法的辅助线．16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求△ABC的周长．17．如图3－ZT－3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止运动．若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C，B，D为顶点的三角形是等腰三角形？图3－ZT－3详解1．C[解析]设最大边的长为x，则4－3＜x＜4＋3，x＞4，∴4＜x＜7.又∵x为整数，∴x＝5或x＝6.2．D[解析]有两种情况：(1)当已知两边均为直角边时，由勾股定理得第三边长为5；(2)当4为斜边长时，由勾股定理得第三边长为7.故选D.3．A[解析]∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.故选A.4．C5.D6.10－1[解析]由题意，得AC＝AB2＋CB2＝32＋12＝10，则AM＝10.∵点A表示－1，∴点M表示10－1.7．解：∵∠B＝90°，∴AC为斜边．由勾股定理，得BC2＋AB2＝AC2，∴AB＝AC2－BC2＝122－52＝119.8．解：设a＝9k，b＝15k，c＝12k(k0)，则b2＝(15k)2＝225k2，a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，∴b2＝a2＋c2，∴△ABC是直角三角形．9．解：(1)∵p＝a＋b＋c2＝7.5，∴△ABC的面积为S＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝7.5×（7.5－2.5）×（7.5－6）×（7.5－6.5）＝7.5.(2)∵在△ABC中，BC＝2.5，AC＝6，AB＝6.5，2．52＋62＝6.52，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，∴△ABC的面积是2.5×6÷2＝7.5.10．C[解析](1)2＋(2)2＝(3)2.故选C.11．解：甲船航行的距离BM＝8×2＝16(海里)，乙船航行的距离BP＝15×2＝30(海里)．∵162＋302＝1156，342＝1156，∴BM2＋BP2＝MP2，∴△MBP为直角三角形，且∠MBP＝90°，∴乙船是沿南偏东30°方向航行的．12．10或27[解析]由题意可知a2－12a＋36＝0，b－8＝0，∴a＝6，b＝8.有两种情况：(1)当a，b均为直角边时，由勾股定理，得c＝10；(2)当b为斜边时，由勾股定理得c＝27.故答案为10或27.13.5或13[解析]当点D与点C在AB同侧时，BD＝AB＝22，过点C作CE⊥BD于点E，则CE＝BE＝22，ED＝322.由勾股定理，得CD＝5；当点D与点C在AB异侧时，BD＝AB＝22，∠DBC＝135°，过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F，则BF＝FD＝2，FC＝3，由勾股定理得CD＝13.故填5或13.14．(0，2)或(0，－2)或(－3，0)或(3，0)[解析]如图：①当点C位于x轴上时，设点C(a，0)，则|－5－a|＋|5－a|＝6，即2a＝6或－2a＝6，解得a＝3或a＝－3，此时点C的坐标为(3，0)或(－3，0)．②当点C位于y轴上时，设点C(0，b)，则（5）2＋b2＋（5）2＋b2＝6，解得b＝2或b＝－2，此时点C的坐标为(0，2)或(0，－2)．综上所述，点C的坐标是(0，2)或(0，－2)或(－3，0)或(3，0)．15．解：如图①所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AB的长为5，则AC＝5，故AD＝52－42＝3，∴BD＝5－3＝2；如图②所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AB的长为5，则AC＝5，故AD＝52－42＝3，∴BD＝5＋3＝8；如图③所示，当以AB和BC为腰时，可得BD＝3.16．解：分以下两种情况：(1)当垂足在线段BC上时(如图①)，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝14.故△ABC的周长为15＋13＋14＝42.(2)当垂足在线段BC的延长线上时(如图②)，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4.故△ABC的周长为15＋13＋4＝32.综上，△ABC的周长为42或32.17．解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝AB2＋BC2＝5.分三种情况：①当CD＝BD时，∠C＝∠DBC.∵∠C＋∠A＝∠DBC＋∠DBA＝90°，∴∠A＝∠DBA，∴BD＝AD，∴CD＝AD＝12AC＝2.5，即t＝2.5；②当CD＝BC时，CD＝3，即t＝3；③当BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于点F，如图所示，则CF＝DF，△ABC的面积＝12AB·BC＝12AC·BF，∴BF＝3×45＝2.4，∴CF＝BC2－BF2＝32－2.42＝1.8，∴CD＝3.6，即t＝3.6.综上所述，当运动