现代控制理论习题解答(第一章)

第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述1第一章控制系统的状态空间描述3-1-1求图示网络的状态空间表达式，选取cu和Li为状态变量。（1）1R2R1C2Ciuou1cu2cu1i2i题3-1-1图1(2）RLCiuoucuLi题3-1-1图2【解】：(1)设状态变量:11cux、22cux而111cuCi、222cuCi根据基尔霍夫定律得：1122111)]([cccciuRRuuuCu22221cccuRuCu整理得210112122221212121211001111xxuyuCRxxCRCRCRCRRRRxxi(2)设状态变量：Lix1、cux2而2cLuCi根据基尔霍夫定律得：cLLiuiLiRu整理得21021211001011xxuyuLxxCLLRxxi3-1-2如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压au输出为电动机角速度ω，电动机轴上阻尼系数为f，转动惯量J，试列写状态方程和输出方程。aRaLauDf常数fiJLMai题3-1-2图【解】：设状态变量为：aixx21其中ai为流过电感上的电流，电动机轴上的角速度。电动机电枢回路的电压方程为：baaaaaeiRiLube为电动机反电势。电动机力矩平衡方程为LDMfJM由电磁力矩和反电势的关系，有ebce，aMDicM式中ec为电动机反电势系数，Mc为电动机的转矩系数。J为电动机轴上粘性摩擦系数，f电动机轴上等效转动惯量。整理得第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述3212121101001xxyMuJLxxJfJcLcLRxxLaaMaeaa(注：解是非唯一的)3-1-3试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。（1）111sTKsK3)(sU)(sY122sTKs1114sT155sTK题3-1-3图1（2）asc)(1sU)(1sYbsd)(2sUs1esfg)(2sY题3-1-3图2【解】：(1)如题3-1-3图3设状态变量411TK22TK11T3K41T21T41T51T)(sU6x6x4x4x2x2x3x3x5x5x1x1x)(sY55TK题3-1-3图32414111xTxTx)(3432xxKx23xx6225224241xTKxTKxTx5525551xTxTKx)(1111616xuTKxTx1xy写成矩阵的形式得：xyuTKxTTKTTKTKTKTKKTTx0000010000010000010001000000010000000001111111555222223344（2）如图题3-1-3图4设状态变量第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述53x3x1u1xa2x2xcdf4x4xb3xe2u1yg2y题3-1-3图421xx)(4122xucaxx433fxexx23244dudgxdxbxx11xy32xy1xy写成矩阵的形式得：xyudcxbdgdfecax01000001000000000000010(注：此题解并非唯一的)3-1-4已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。(1)uyyyy2642(2)uuyyy237(3)uuuyyyy23745(4)uuyyy323)4(【解】：6在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）传递函数为：6422)(23ssssG状态空间表达式为：xyuxx002100246100010（2）传递函数为：3072372)(2323ssssssssG状态空间表达式为：xyuxx012100703100010（3）传递函数为：74523)(232ssssssG状态空间表达式为：xyuxx132100547100010（4）传递函数为：2030132313)(23424sssssssssG状态空间表达式为：xyuxx003110000302100001000010第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述73-1-5已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。（1）61161)(232ssssssG（2）6513)(22sssssG（3）)3()1(4)(2ssssG（4）13332)(232ssssssG【解】：此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。（1）xyuxx1111006116100010结构图如图题3-1-5图1所示1x2x2xu63x3x3xy1x611题3-1-5图1（2）655216552656513)(22222sssssssssssssGuyuxx]25[105610结构图如图题3-1-5图2（a）所示81x2x2xu3xy1x2655题3-1-5图2(a)或有312116513)(22sssssssGuxyuxx11113002结构图如图题3-1-5图2（b）所示u23y1x1x2x2x题3-1-5图2(b)（3）)3()1(4)(2ssssG)1(1)1(2)3(3134)(2sssssG第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述9xyuxx12313410111000110000300000结构图如图题3-1-5图3所示uy1x1x342x2x314x4x3x3x23题3-1-5图3（4）13332)(232ssssssGxyuxx123100331100010结构图如图题3-1-5图4所示101x2x2xu33x3x3xy1x332题3-1-5图43-1-6将下列状态方程化成对角标准型。（1）uxx106510（2）uxx1537126712203010（3）uxx0116116100010【解】：（1）特征方程为：0)5)(1(56)(2D。特征值为：5,121系统矩阵A为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为范德蒙矩阵。变换阵：111525.0,511111121PP线性变换后的状态方程为：uxubPxAPPx25.025.05001)()(11（2）特征方程为:第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述110)3)(2)(1(61166712230123AI特征值为：3,2,1321。设变换阵：P=333231232221131211PPPPPPPPP由0)(iiPAI得当11时，05712213011312111PPP取1113121111PPPP当22时，04712223012322212PPP取1423222122PPPP当33时，03712233013332313PPP取3313323133PPPP变换阵：311341121P，15.15.212315.25.41P线性变换后的状态方程为：uxx165.132015275.18300020001（3）特征方程为：0)3)(2)(1(6116)(23D。特征值为：3,2,1321。12系统矩阵A为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为：941321111111232221321P5.05.111435.05.231P线性变换后的状态空间表达式为：uxx5.275.53000200013-1-7将下列状态方程化成约旦标准型。（1）uxx102112（2）uxx371523311201214（3）uxx100452100010【解】：（1）特征方程为：0)3)(1(3421122AI特征值为：3,121。设变换阵：22211211PPPPP由0)(iiPAI得：第三部分现代控制理论习题详解第一章控制系统的状态空间描述13当11时，011112111PP取111P当32时，011112212PP取112P1111P，5.05.05.05.01P线性变换后的状态空间表达式为：uxubPxAPPx5.05.03001)()(11（2）特征方程为：0)3)(1(311212142AI特征值为：1,3321。设变换阵：333231232221131211PPPPPPPPPP当31时，由0)(11PAI得：0011231211312111PPP，取1111P当32时，由122)(PPAI得：