现代控制理论习题解答(第五章)

第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器86第五章状态反馈和状态观测器3-5-1已知系统结构图如图题3-5-1图所示。(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j53上。)(ty)2(1s11s)(tu)(1tx)(2tx题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：xyuxx1011210123111ccUrankU系统能控，可以设计状态反馈阵。设状态反馈阵为][21kkK状态反馈控制规律为：Kxru求希望特征多项式：34625)3()(*22ssssf求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212kskksbKAsIsf依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112Kkkkkk方法二：1316)346(311110)(*10211IAAAfUKc方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器872321)111()()(2ssssssUsYxyuxx10103210求系统希望特征多项式：34625)3()(*22ssssf求状态反馈矩阵K~：33236234~21kkK5.05.031111010111AbbP105.05.011APPP1316~PKK3-5-2已知系统的传递函数为)2)(1(10)()(ssssUsY试设计一个状态反馈矩阵，使闭环系统的极点在-2，j1。【解】：依据系统传递函数写出能控标准型sssssssUsY2310)2)(1(10)()(23xyuxx0010100320100010求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232ssssssf求状态反馈矩阵：144342604321kkkK。第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器883-5-3已知系统的传递函数为)3)(1)(2()2)(1()(ssssssG，试问是否可以通过状态反馈，将传递函数变为)3)(2()1(sss和)3)(1()2(sss，若有可能，分别求出状态反馈阵K，并画出结构图。【解】：系统传递函数无零极点对消，所以系统既能控又能观。可以通过状态反馈进行极点的任意配置。另有状态反馈不改变系统的零点。(1)由闭环传递函数得希望极点为-2，-2，-3。受控对象传递函数：6522)3)(1)(2()2)(1()(232sssssssssssG受控对象状态空间表达式的能控标准型：xyuxx112100256100010希望特征多项式为：12167)3()2()(*232ssssssf状态反馈矩阵：5211827516612321kkkK。结构图如图题3-5-3图1所示：1x2x2xu3x3x3xy1xr625218215题3-5-3图1第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器89（2）由闭传递函数得希望极点为-1，1，-3。希望特征多项式为：33)3)(1)(1()(*23sssssssf状态反馈矩阵：143235163321kkkK。结构图如图题3-5-3图2所示：1x2x2xu3x3x3xy1xr625234题3-5-3图23-5-4已知系统状态空间表达式为xyuxx210011310301100，试判断系统的能控性和能观性，若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控的子系统，并讨论用状态反馈是否可以使闭环系统稳定。【解】：判系统的能控性和能观性：2,2103111012ccrankUbAAbbU2,432321210020rankVCACACV第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器90系统不能控不能观。按能控性进行结构分解：取111011001,1100110011ccRR分解后的状态空间表达式为：ccccccccccccccxxxxCRyuxxubRxxARRxx211)(001100221110)()(11因为不能控分量对应的特征值为-1，因此对系统的稳定性无影响，所以可以通过状态反馈的方法，对能控子空间进行极点的任意配置（左半平面），从而使系统稳定。3-5-5已知系统的传递函数为)3()1()(2ssssG，设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点配置在-2，-2，和-1处，并说明所得的闭环系统是否能观。【解】：被控对象状态空间表达式的能控标准型：因为系统的传递函数可写成：23231)3()1()(sssssssG所以能控标准型为：xyuxx011100300100010闭环后的希望特征多项式为：485)1()2()(*232ssssssf状态反馈系数阵：284350804321kkkK。闭环传递函数为：第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器912223)2(1)1()2(14851)(sssssssssGb系统闭环传递函数出现零极点对消现象，又有原受控对象本身能控，且状态反馈不改变系统的能控性，所以该闭环系统不能观。3-5-6已知系统状态方程为uxx100130100001，试判断系统是否可以通过状态反馈分别配置以下两组特征值：（1）{-2，-2，-1}；（2）{-2，-2，-3}。若能配置，求出反馈阵。【解】：判系统的能控性：2,2111100002ccrankUbAAbbU系统不能控.按能控性分解：取001010110,0110101001ccRRuxxubRxxARRxxccccccccc001100011030)()(11不能控子空间的特征值为-1。（1）对能控子空间进行极点配置，极点位置在-2，-2：uxxcc01113044)2()(*22ssssf)(*10121AfUkkKc65)10014113041130(10011021第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器92所以065K原系统的状态反馈阵K为：1cRKK510001010110065K（2）因为状态反馈不能改变不能控部分的极点，而不能控部分的极点为-1，所以不能通过状态反馈将极点配置在{-2，-2，-3}。3-5-7已知系统状态空间表达式为xyuxx01100010，试设计一个状态观测器，使状态观测器的极点为-r，-2r，(r0)。【解】：方法一：判能观性2,100100rankVCACV。系统能观，可以构造状态观测器。确定观测器的希望特征多项式：2223)2)(()(*rrssrsrssf确定观测矩阵TllL21，观测器的特征多项式为：2122101001000)()(lslsllssLCAsIsf)()(*sfsf22123rlrl方法二：10)(*1021VAfllL第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器9321222310001000102001030010rrrr方法三：被控对象特征多项式：20010)(ssIAsIsf确定观测器的希望特征多项式：2223)2)(()(*rrssrsrssf对应于能观标准型的观测器矩阵：rrrraaaallL320302**22110021对应于原系统的观测器矩阵：0110,101011101AppPVPo2223320110rrrrLPLo3-5-8已知系统的状态空间表达式为xyuxx011102101110321（1）设计一个全维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4，-5处。（2）设计一个降维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4处。（3）画出其结构图。【解】：（1）方法一：确定能观性：3,1053431011020rankVCACACV系统能观，可设计观测器。求希望特征多项式：第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器94604712)5)(4)(3()(*23sssssssf求观测器特征多项式：LCAsIsf)(计算观测器系数矩阵：令)()(*sfsf得5.135.155.6L方法二：5.135.155.6100)(*10321VAflllL结构图如图题3-5-8图1所示：u1x1x2x2x3x3xy),,(CBAy2235.135.155.6题3-5-8图1(2)确定降维观测器的维数：m=1，n=3，则n-m=2。第三部分现代控制理论习题详解第五章状态反馈和状态观测器95分解输出系数矩阵c，获得线性变换矩阵T，对原状态空间表达式进行线性变换，使各输出变量y变成各状态变量的单值函数：01,1,0112121ccccC100010011,10001001110001001101112221TIccT1,001xyCTC,111110421222112111AAAAATTA1111,10,42,122211211AAAA10,2,102211BBBTB计算线性变换后降维观测器的反馈矩阵1221llL（一个输出两个状态）127)4)(3()(*2sssssf42111100)()(211222