函数的单调性与曲线的凹凸性教案

目录上页下页返回结束第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一阶导数和二阶导数在函数图像中的应用目录上页下页返回结束一、函数单调性的判定法定理1.推论:(),(),fx如果连续且除有限个或可数个点外()0(()0),fxfx或()().fx则函数单调递增递减arctanyxx判定函数的单调性.例1.x且仅当0时，解：2221=1011.xyxxarctan(,)yxx所以函数在上单调减少.0.y目录上页下页返回结束又如,sin(,)yxx在内可导,且1cosyx等号只在(21)(0,1,)xkk处成立,故sin(,)yxx在内单调增加.4020204040202040目录上页下页返回结束例2.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xOy12目录上页下页返回结束yxO说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,32xy2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yOx3xy目录上页下页返回结束把函数的定义域区间分成若干个区间，1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)3．以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。总结求函数的单调区间的步骤:目录上页下页返回结束3210496yxxx确定函数的单调区间。解:3221010496(496)yxxxxxx00(,)(,),D定义域为3210()496yxxx232260(231)(496)xxxxx32260(21)(1)(496)xxxxx练习1：P1533(3)目录上页下页返回结束1012yx令，得驻点为，，x()fx()fx(,0)1(0,)21(,1)2(1,)32260(21)(1)1(496)2xxyxxx11(,0)(0,)(1,)(,1).22该函数的单调减区间为，，；单调增区间0.x且为不可导的点目录上页下页返回结束例3.证明时,成立不等式证:令,π2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0从而因此且证证明目录上页下页返回结束例3.证明时,成立不等式证:令,π2sin)(xxxf且2cossin()xxxfxx，()cossin,gxxxx令()(0)0gxg所以，故()0.fx()sin0,02gxxxx则从而因此目录上页下页返回结束利用单调性证明不等式的步骤：①将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x).②求()fx,验证f(x)在指定区间上的单调性.③与区间端点处的函数值作比较即得证.目录上页下页返回结束练习2：P1535(3)证明:当时证明：sinxtanx2x.02x设f(x)sinxtanx2x则f(x)在内连续[0,)2f(x)cosxsec2x2,从而f(x)在内单调增加因此当时f(x)f(0)0sinxtanx2x002x也就是sinxtanx2x[0,)2f(0)0,2()sin2sectanfxxxx03sin(2sec1)xx从而f(x)在内单调增加[0,)2所以f(x)f(0)=0且目录上页下页返回结束AB定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点yOx2x1x221xxyOx2x1x221xx连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.yOx拐点目录上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数xyO例3.判断曲线的凹凸性.解:,43xy故曲线在上是向上凹的.目录上页下页返回结束说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,目录上页下页返回结束例4.求曲线的拐点.解:,3231xy3592xyxyy0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸目录上页下页返回结束)(3632xx对应271121,1yy例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx3)列表判别)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132目录上页下页返回结束1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点3．判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤,yy目录上页下页返回结束arctan211xyex求曲线的凸凹区间及拐点。arctanxye解:(,),Darctanarctan222212(1)(1)xxxyeexx0,y令1.2x得arctan2212(1)xxex练习2：P1539(5)目录上页下页返回结束x1(,)21(,)212()fx()fx0凹凸拐点1arctan21(,)2e1arctan21(,)2e1(,]2是拐点.曲线在上是凹的,上是凸的.故点1[,)2在arctan2212,(1)xxyex目录上页下页返回结束内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点目录上页下页返回结束作业P1523(1),(3);5(1),(3);8(1),(3);9(1),(2);预习：第五节，第六节目录上页下页返回结束思考与练习]1,0[上,0)(xf则,)1(,)0(ff)0()1(ff或)1()0(ff的大小顺序是())0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示:利用)(0)(xfxf单调增加,)10()()0()1(fff及B1.设在目录上页下页返回结束.),(21)e1,(21212.曲线2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示:)21(e222xyx),(2121),(21及;;第五节目录上页下页返回结束112xxy有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：yy222)1(21xxx3223)1()133(2xxxx32)1()32)(32)(1(2xxxx备用题xxx2)1()1(222)1(x42)1(x)22(x22)1(x)21(2xx)1(22xx2目录上页下页返回结束令0y得,11x,)1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x,)34831,32()34831,32(3211348311134831112xxy32)1()32)(32)(1(2xxxxy41=目录上页下页返回结束证明:2π0x当时,有.π2sinxx证明:令xxxFπ2sin)(,0)0(F,则)(xFxxFsin)()(xF是凸函数)(xF即xxπ2sin2.0)2π(Fπ2cosx0)2π(),0(minFF0(自证)第五节y)(xF2Ox目录上页下页返回结束例4.解：ln(0).xaxa讨论方程有几个实根()ln,fxxax设1().fxax则当时，1(0,)()0,xfxa1(0,]a在上单调增加；从而为最大值1(),fa1()0()ffxa所以若，无零点，定义域为(0,).1()0.fxxa由，解得1(,)()0,xfxa当时，1[,)a在上单调减少；10.ae即当时，方程有两个实根1()0()ffxa若，有两个零点；00lim()lim(ln),xxfxxaxlim()lim(ln),xxfxxax1ae即当时，方程无实根，1()0()ffxa若，有一零点；1ae即当时，有一实根，目录上页下页返回结束当时，方程无实根，1ae目录上页下页返回结束时，有一实根，1ae目录上页下页返回结束时，方程有两个实根10.ae目录上页下页返回结束证明:例6.当时证明：sinxtanx2x.02x设f(x)sinxtanx2x则f(x)在内连续[0,)2f(x)cosxsec2x222(cos1)[(cos1)cos]cosxxxx因为在内cosx10cos2x10cosx0(0,)2所以f(x)0从而f(x)在内单调增加因此当时f(x)f(0)0sinxtanx2x002x也就是sinxtanx2x[0,)2目录上页下页返回结束证明:例6.当时证明：sinxtanx2x.02x设f(x)sinxtanx2x则f(x)在内连续[0,)2f(x)cosxsec2x222(cos1)[(cos1)cos]cosxxxx因为在内cosx10cos2x10cosx0(0,)2所以f(x)0从而f(x)在内单调增加因此当时f(x)f(0)0sinxtanx2x002x也就是sinxtanx2x[0,)2