坐标平面上的直线知识点归纳

坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。注意：规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角的范围是oo1800；（2）直线的斜率：倾斜角不是o90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，tank①斜率是用来表示倾斜角不等于o90的直线对于x轴的倾斜程度的。②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。③斜率计算公式：设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k，则当21xx时，2121tanxxyyk；当21xx时，o90；斜率不存在；二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00yx，且斜率为k的直线方程：)(00xxkyy；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0xx；②kxxyy00表示：)(00xxkyy直线上除去),(00yx的图形。（2）斜截式：若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程：bkxy；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。（3）两点式：若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点，且（2121,yyxx），则直线的方程：121121xxxxyyyy；注意：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112xxyyyyxx时，方程可以适应在于任何一条直线。（4）截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是a，b（0,0ba）则直线方程：1byax；注意：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用。（5）参数式：btyyatxx00（t为参数）其中方向向量为),(ba，),(2222babbaa；abk；22||||batPPo；点21,PP对应的参数为21,tt，则222121||||battPP；sincos00tyytxx（t为参数）其中方向向量为)sin,(cos，t的几何意义为||oPP；斜率为tan；倾斜角为)0(。（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0CByAx；（BA,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数CBA,,是否为0才能确定。②指出此时直线的方向向量：),(AB，),(AB，),(2222BAABAB（单位向量）直线的法向量：),(BA；（与直线垂直的向量）三、两直线的位置关系：位置关系222111::bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk，且21bb212121CCBBAA重合21kk，且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211BABA对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211BABA②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线垂直。③对于02121BBAA来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角（1）1l到2l的角：把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角；它是有向角，其范围是0；注意：①1l到2l的角与2l到1l的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。（2）直线1l与2l的夹角：是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是20；（3）设两直线方程分别为：222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl①若为1l到2l的角，12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；②若为1l和2l的夹角，则12121tankkkk或21211221tanBBAABABA；③当0121kk或02121BBAA时，o90；注意：①上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。②直线1l到2l的角与1l和2l的夹角：)2(或)2(；五、点到直线的距离公式：设点),(00yxP和直线0:CByAxl，点P到l的距离为：2200||BACByAxd；两平行线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的距离为：；六、直线系：（1）设直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl，经过21,ll的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去2l）；如：①011kxykxy，即也就是过01y与0x的交点)1,0(除去0x的直线方程。注意：推广到过曲线0),(1yxf与0),(2yxf的交点的方程为：0)()(21xfxf；（2）与0:CByAxl平行的直线为0'CByAx；（3）与0:CByAxl垂直的直线为0'CAyBx；七、对称问题：（1）中心对称：①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(baA关于),(dcC的对称点)2,2(bdac②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//ll由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。（2）轴对称：①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用2221||BACCd中点坐标公式求解。②直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）Ⅰ、若ba,相交，则a到l的角等于b到l的角；若la//，则lb//，且ba,与l的距离相等。Ⅱ、求出a上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。Ⅲ、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点'P的坐标适合a的方程。