专题10__临界和极值问题[1]

第三章牛顿运动定律河北师大附中李喜昌专题十临界和极值问题临界状态：当物体从某种物理状态变化到另一种物理状态时，发生质的飞跃的转折状态通常叫做临界状态，出现“临界状态”时，既可理解成“恰好出现”也可以理解为“恰好不出现”的物理现象.两物体分离的临界条件是：两物体之间刚好无相互作用的弹力，且此时两物体仍具有相同的速度和加速度。两物体相对滑动的临界条件是：两物体之间的静摩擦力达到最大值，且此时两物体仍具有相同的速度和加速度。绳刚好被拉直的临界条件是绳上拉力为零。绳刚好被拉断的临界条件是绳上拉力达到最大拉力。解决中学物理极值问题和临界问题的方法1.极限法：在题目中知出现“最大”、“最小”、“刚好”“至少”“不超过”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，可把物理问题（或过程）推向极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件，应用规律列出在极端情况下的方程，从而暴露出临界条件．2.假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．3.数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．3.如图所示，在水平铁轨上行驶的车厢里，用细线悬挂一质量为m的小球，当列车减速时，摆线与竖直方向夹角为θ，求⑴列车的加速度；⑵车厢的运动性质；⑶细线对小球的拉力．θvtantangmmga向左匀加速运动或者向右匀减速运动加速度方向水平向左cosmgT拉力和竖直方向成θ角，沿绳的方向向上．mgTθαa光滑，相对静止aαagtga几个临界问题注意：α角的位置！相对静止光滑，支持力为零，相对静止光滑，支持力为零，相对静止a例1.如图，质量分别为m、M的A、B两木块叠放在光滑的水平地面上，A与B之间的动摩擦因数为μ。若要保持A和B相对静止，则施于A的水平拉力F的最大值为多少？若要保持A和B相对静止，则施于B的水平拉力F的最大值为多少？若要把B从A下表面拉出，则施于B的水平拉力最小值为多少？mMBAm解：（1）设保持A、B相对静止施于A的最大拉力为FA,此时A、B之间达到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体B，分别应用牛顿第二定律aMmFA)(①Mamg②联立①②两式解出MgMmmFA)(FmAmMBAm量变积累到一定程度，发生质变，出现临界状态．⑵设保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FB,此时A、B之间达到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体A，分别应用牛顿第二定律FmBmMBAmaMmFB)(①mamg②联立①②两式解出gMmFB)(⑶若要把B从A下表面拉出，则施于B的水平拉力的最小值跟保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FB物理意义相同．答案同⑵理解临界状态的“双重性”整体法和隔离法相结合例2.如图所示，mA=1kg,mB=2kg,A、B间的最大静摩擦力为5N,水平面光滑，用水平力F拉B，当拉力大小分别为F1=10N和F2=20N时，A、B的加速度各为多大？mABF解：假设拉力为F0时，A、B之间的静摩擦力达到5N，它们刚好保持相对静止．对于整体和物体A，分别应用牛顿第二定律ammFBA)(0①amfAm②联立①②两式解出NF150（1)当F=10N＜15N时,A、B一定相对静止，对于整体关键牛顿第二定律2/3.3smmmFaaBABA(2)当F=20N＞15N时,A、B一定相对滑动，对于A和B分别应用牛顿第二定律2/5smmfaAmA2/5.7smmfFaBmB两个物体之间发生相对滑动的临界条件是（1）它们之间的摩擦力达到最大静摩擦力（刚好滑动）（2）它们的加速度相等（刚好不滑动）。例4.如图所示,把长方体切成质量分别为m和M的两部分，切面与底面的夹角为θ,长方体置于光滑的水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平推力推m，m才相对M滑动？FMmθMmθmgFθmaNFsin1②0cos1mgN③解:设水平推力为F时，m刚好相对M滑动．对整体和m分别根据牛顿第二定律amMF)(①联立解出使m相对M相对滑动的最小推力MmgmMFtan)(⑴整体法和隔离法相结合．⑵动态分析临界状态，从两个方面理解临界状态．5.（1995年上海物理卷三B5）如图，一细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴以质量为m的小球，⑴.当滑块至少以多大加速度向左运动时，小球对滑块的压力为零？⑵.当滑块以加速度a=2g向左运动时，线中张力多大？AP450amgTa04500045tanmamggga0045tan解：（1）根据牛顿第二定律得（2）a=2ga0,小球离开斜面，设此时绳与竖直方向的夹角为α因此当滑块至少以加速度g向左运动时，小球对滑块的压力为零.mgTαamgamgmT52222关键是找出装置现状（绳的位置）和临界条件，而不能认为不论α多大，绳子的倾斜程度不变．例6．质量为m的小物块，用轻弹簧固定在光滑的斜面体上，斜面的倾角为θ，如图所示。使斜面体由静止开始向右做加速度逐渐缓慢增大的变加速运动，已知轻弹簧的劲度系数为k。求：小物块在斜面体上相对于斜面体移动的最大距离。θθ解：静止时物体受力如图示mgkx1N向右加速运动时aθsin1mgkx①cossinmamgkx②sincosmaNmg③随a增大，弹簧伸长，弹力F增大，支持力N减小，直到N=0时，为最大加速度。sincos212kmgxxθmgθasin2mgkx④联立①④两式解出小物块在斜面体上相对于斜面体移动的最大距离例4.一根劲度系数为k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一木板将物体托住，并使弹簧保持原长，如图所示．现让木板由静止以加速度a（ag）匀加速向下运动，求经过多长时间木板与物体分离？解：设物体与木板一起匀加速运动的距离为x时，木板与物体分离，它们之间的弹力为零mgNkxamakxmg①221atx②联立①②两式解出kaagmt)(2必须清楚面接触物体分离条件（1）接触面间的弹力为零;（2）两个物体的加速度相等。例7．如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,则F的最小值和最大值是多少？F解：因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，P离开秤盘。此时P受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0－0.2s这段时间内P向上运动的距离：mkmgx4.0由匀加速运动公式221atx.题后反思：与弹簧关联的物体，运动状态变化时，弹簧的长度（形变量）随之变化，物体所受弹力也相应变化．物体的位移和弹簧长度的变化之间存在一定的几何关系，这一几何关系常常是解题的关键．当P与盘分离时拉力F最大，Fmax=m(a+g)=360N.当P开始运动时拉力最小，此时对物体P和秤盘组成的整体有Fmin=ma=240N22/202smtxa加速度18.物体A的质量m1＝1kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量为m2＝0.5kg、长L＝1m，某时刻A以v0＝4m/s的初速度滑上木板B的上表面，为使A不致于从B上滑落，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力F，若A与B之间的动摩擦因数µ＝0.2，试求拉力F大小应满足的条件。(忽略物体A的大小，取重力加速度g=10m/s2)v0ABF解：物体A滑上木板B以后,作匀减速运动,加速度为aA=µg①木板B作加速运动，有：F+µm1g=m2aB②物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度V1，则：LaVaVvBA22212120③又BAaVaVv110④由①、③、④式，可得：aB=6（m/s2）再代入②式得：F=m2aB—µm1g=1N若F＜1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F必须大于等于1N。当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落。即有：F=（m1+m2）a，µm1g=m1a所以：F＝3N若F大于3N，A就会相对B向左滑下。综上分析：力F应满足的条件是：1N≤F≤3N