伽罗华与群论

伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译引言大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。的确，在学校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专门学院的教程差不多也有三百多年的历史。笛卡尔（Descartes）之创造解析学和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。可是，事实是这样的：数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实地的向前迈进了。数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣，而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。哲学家公认：近代数学与基本的宇宙说是有直接关系的。心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。的确，谁都要珍重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。这本小册子里所讲的是群论(TheoryofGroups),群论是近代数学的一种，伽罗华(EvaristoGalois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。伽罗华殁于一百年以前，死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门数学在今日已成为数学中的重要部分了。自古以来的二十五位大数学家中，他就是其中之一位。他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的L'EcolePolytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了，他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。(在决斗的前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。敬祝他的灵魂安乐！--I群的重要在讲群论之先，先把群论之所以重要的几个原因之一说一下。我们都知道数学中一椿要紧的事情是解方程式。代数方程式可以依他的次数来分类。一次方程式ax+b=0只要是学过初等代数的小孩子都会解。他的解答是x=-b/a二次方程式2ax+bx+c=0的解法在初等代数中也有，他的解答是x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a在纪元前数世纪，巴比伦人(Babylonians)已能解这种形式的方程式了。三次方程式32ax+bx+cx+d=0和四次方程式432ax+bx+cx+dx+e=0的解法已比解一次，二次的方程式难得多了。直到十六世纪才有了解法。这法子在每本方程式论的书中都可以找到。当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。向来数学家虽都不会解一般高于四次的方程式，可是都相信一定是可能的。直到十九世纪，利用群论的道理，才证明了这是不可能的事。此处读者应该要懂得透澈的是刚才所说的“不可能”三个字。一个问题之能否解决是要看我们对于解答所加的限制条件而定的，比如x+5=3是能解的，假使我们允许x可以是负数的话，设若我们限定x不能是负数，那末这方程式就不能解了。同样，假使x表示银圆数，方程式2x+3=10是可解的。如果x表示人数，这方程式就不能解了，因为x=3.5没有意义。要三等分任意一角，若只准用直尺与圆规，这是不可能的，但是若许用别的仪器，就可能了。一个代数式之为可约的(reducible,就是说可以分解因数)或不可约的(irreducible)，要看我们在什么数域(Field)中分解因数而定。比如：2x+1在实数域(FieldofRealNumbers)中是不可约的，可是在复数域(FieldofComplexNumbers)中却是可约的，因为2x+1=(x+i)(x-i)----此处的i=√-1.简单的说：我们若单说一个代数式是可约的或是不可约的，而不说出在什么数域内，这话是全然没有意义的。数学家知道特别说明范围(Environmont)的重要。我们说：一个命辞在什么范围中是对的，在什么范围中是错的，甚而至于在什么范围中是绝对没有意义的。那末，刚才所说的一般高于四次的方程式不能解究竟是什么意思呢？这个问题的答案是：一般高于四次的方程式不能用根式解的所谓“不能用根式解”是说方程式的根不能用有限次的有理运算（加，减，乘，除）和开方表作方程式的系数之函数。为要说明这一点，拿一次方程式ax+b=0来看，这方程式的根是x=-b/a;所以x的值可以用a除b而得，这是一个有理运算!二次方程式2ax+bx+c=0的两根是x=[-b±(b^2-4ac)^1/2]/2a这也可以由有限次的有理运算和开方而得。同样，一般的三次，四次方程式的根也可用有限次的有理运算和开方表作系数的函数，换句话说：他们可以用根式解(SolvablebyRadicals)可是，若论到高于四次的方程式时，这就不再成立了。当然，这是指一般高于四次的方程式而言，有些特殊的高次方程式还是可以用根式解的。以后我们将看到怎样用群论的原理来证明一般高于四次的方程式还是可以用根式解的。我们还可以看到：用群论的道理来证明以直尺，圆规三等分任意角之不可能是何等简单而绮丽，正如应用群论于其他名题一样。--III群的重要性质有时一个群的一部分元素自己形成一体，这种群称为约群(Subgroup).例如，前章的(a)例中，一切整数对于加法而言，固然成为一群，若单拿一切偶数来看，对于加法而言，他们也成一群；因为群的四个性质都能适合：1。两个偶数的和还是偶数。2。零是主元素。3。一个正偶数的逆元素是一个负偶数，而一个负偶数的逆元素是正偶数。4。结合律当然成立。所以单是偶数全体对于加法而言作成一个群，这群是那个由一切整数对于加法而言作成的群的约群。仿此，一个置换群（即是以置换作元素的群）也可以有约群。例如，拿1,(12),(123),(132),(13),(23)六个置换来看，此处1表示那个不动置换(IdentitySubstitution,即是将x1代作x1,x2代作x2,x3代作x3的置换)。这六个置换形成一群，因为群的四条性质都成立：1。这六个中每两个的积还是这六个中的一个置换，比如(12)(123)=(13)(123)(132)=1,(13)(23)=(123)(123)(123)=(132)等等。2。主元素是1。3。每个元素的逆元素都在这六个元素之中，比如(123)的逆元素是(132)(12)的逆元素是(12)等等。4。结合律成立现在从这六个置换中取出1和(12)两个来，这两个也做成一个群，这是原来那个群的约群。我们很容易证明：约群的元数(Order，即是元素的个数)是原来的群的元数的约数。一种最重要的约群是不变约群(InvarientSubgroup)。为要解释这个名词，先得说明变形(Transform)的意义。设有一个元素(12),我们用另一个元素(123)去右乘他，再用(123)的逆元素(132)去左乘他，如此所得的结果是(132)(12)(123)=(23)这个结果(23)就称为(12)应用(123)的变形。同样，群中一个元素若以另一个元素右乘，再用这另一个元素的逆元素左乘，所得结果称为元素应用另一个元素的变形。一个约群中任何元素应用原来的群中任何元素的变形，若仍是约群中的元素，这约群就称为原来那个群的不变约群。不变约群是很重要的，尤其重要的是一种极大不变真约群(MaximalInvarientProperSubgroup)。设H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变真约群。。。。。。若将G的元数用H的元数去除，H的元数用K的元数去除，。。。如此所得诸数，称为群G的组合因数(CompositionFactors).假使这些组合因数都是质数，我们就说G是一个可解群(SolvableGroup).这里“可解”两个字的意义，容后再说。在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素(不是主元素)的乘幂，比如在群1,(123),(132)中，2(123)=(123)(123)=(132)3(123)=(123)(123)(123)=1这群中的元素都是(123)的乘幂，像这种群，称为循环群(CyclicGroup).在一个置换群中，如果每个文字都有一个而且只有一个置换将文字换成其他某一个文字(这个文字也可以和原来那个文字相同)，那末，这个群就称为正置换群(RegularSubstitutionGroup)。例如方才所说的群1,(123),(132)在1中x1变成x1,在(123)中x1变成x2,在(132)中x1变成，。。。。。。所以这是一个循环正置换群(RegularCyclicGroup),这种群在方程式的应用上很重要，在以后的各章中可以见到。--II群是什么数学中的系统(Systom)可以是一部教学的机器(AMathematicalMachine),他的主要成分是(1)元素(Element);(2)一种运算(Operation);例如：(a)(1)元素是一切整数(正或负或0)(2)运算是加法。((1)元素是一切有理数(0除外)(2)运算是乘法。©(1)元素是某几个文字(如x1,x2,x3)的置换(Substitution)(2)运算是将一个转换跟着另一个置换(这个待以后再解释)(d)(1)元素是下图的旋转，转的度数是60度或是60度的倍数；(该图样子是将一个圆用三条直径分成相同六块)(2)运算是如©中一般，将一个旋转跟着另一个旋转。从这么一个简单的出发点着手，看去似乎弄不出什么东西来，然而这样讨论下去所得的结果会令人诧异的！这种系统若能满足下列四条性质，就称为群(Group):1.假使两个元素用那规定的运算结合时，所得的结果还是系统中的一个元素。例如：在(a)中，一个整数加到另一个整数上去的结果还是一个整数。在(b)中，两个有理数相乘的结果还是一个有理数。在©中，设有一个转换将x1代作x2,x2代作x3,x3代作x1,即是将x1x2x3换作x2x3x1若在这置换之后跟着另一个置换，假设这另一个置换是将x2代作x3,x3代作x1,x1代作x2的，那末，这两个置换结合的结果是一个将x1x2x3换作x3x1x2的置换。在(d)中，设在一个60度的旋转（逆时针方向）之后跟着一个120度的旋转(逆时针方向)，其结果是一个180度的旋转(逆时针方向).2系统中必须含有主元素(IdentityElement)，所谓主元素是这样的性质的元素：他与系统中任意另一个元素结合的结果仍是那另一个元素。例如，在(a)中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。在(b)中，主元素是1，因为任意一个有理数用1乘了之后的积还是那个有理数。在©中，主元素是那个将x1代作x1，x2代作x2，x3代作x3的置换，因为任意一个置换和这个置换结合的结果还是那个转换。在(d)中，主元素是那个360度的旋转，因为系统中任意一个旋转和这个旋转结合的结果还是那个旋转。3。每个元素必须有一个逆元素(InverseElement).所谓一个元素的逆元素是这样规定的：一个元素和他的逆元素用系统中的运算结合的结果是主元素。例如，在(a)中，3的逆元素是—3，因为3加上—3的和是0。在(b)中，a/b的逆元素是b