1987-2012考研数学一二三四五历年真题及答案全解

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数2()(1)(2)xxnxfxeeen…（-），其中n为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()ft连续，则二次积分22202cos()dfrrdr=（）（A）2224222202()xxxdxxyfxydy（B）22242202()xxxdxfxydy（C）2222220214()2xdxxyfxydyxx（D）22220214()2xdxfxydyxx（4）已知级数11(1)sinninn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）012（B）121（C）132（D）322（5）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234cccc，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123，，（B）124，，（C）134，，（D）234，，（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=P（，，），1223=Q（+，，）则1=QAQ（）（A）121（B）112（C）212（D）221（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+22｛1｝（）（A）14（B）12（C）8（D）4（8）设1234XXXX，，，为来自总体N2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|XXXX的分布（）（A）N（0，1）（B）(1)t（C）2(1)（D）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin4lim(tan)xxxx（10）设函数0ln,1(),(()),21,1xdyxxfxyffxdxxx求___________.（11）函数(,)zfxy满足2201(,)22lim0,(1)xyfxyxyxy则(0,1)dz_______.（12）由曲线4yx和直线yx及4yx在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23PABPC则CP（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos40limxxxeex（16）（本题满分10分）计算二重积分xDexydxdy，其中D为由曲线1yxyx与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)Cxy（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21lncos1,11.12xxxxxx（19）（本题满分10分）已知函数()fx满足方程()()2()0fxfxfx及()()2xfxfxe1）求表达式()fx2）求曲线的拐点220()()xyfxftdt（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaAbaa，（I）求|A|（II）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()fxxxxx的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：X012P121316Y012P131313XY0124P712130112求（1）P(X=2Y);（2）cov(,)XYXYY与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).VXYUXY求（1）随机变量V的概率密度；（2）()EUV.2011年全国硕士研究生入学统一考试2011数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)已知当0x时，函数()3sinsin3fxxx与是kcx等价无穷小，则(A)1,4kc(B)1,4kc(C)3,4kc(D)3,4kc(2)已知()fx在0x处可导，且(0)0f,则2330()2()limxxfxfxx(A)'2(0)f(B)'(0)f(C)'(0)f(D)0(3)设nu是数列，则下列命题正确的是(A)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛(B)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛(C)若1nnu收敛，则2121()nnnuu收敛(D)若2121()nnnuu收敛，则1nnu收敛(4)设40ln(sin)Ixdx,40ln(cot)Jxdx,40ln(cos)Kxdx则I,J,K的大小关系是(A)IJK(B)IKJ(C)JIK(D)KJI(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵记为1100110001P，2100001010P，则A(A)12PP(B)112PP(C)21PP(D)121PP(6)设A为43矩阵,1,2,3是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，1k,2k为任意常数，则Ax的通解为(A)23121()2k(B)23221()2k(C)23131221()()2kk(D)23221331()()2kk(7)设1()Fx,2()Fx为两个分布函数，其相应的概率密度1()fx,1()fx是连续函数，则必为概率密度的是(A)12()()fxfx(B)212()()fxFx(C)12()()fxFx(D)1221()()()()fxFxfxFx(8)设总体X服从参数(0)的泊松分布，11,,(2)nXXXn为来自总体的简单随即样本，则对应的统计量111niiTXn，121111niniTXXnn(A)1212,ETETDTDT(B)1212,ETETDTDT(C)1212,ETETDTDT(D)1212,ETETDTDT二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设0()lim(13)xttfxxt，则'()fx______.(10)设函数(1)xyxzy，则(1,1)|dz______.(11)曲线tan()4yxye在点(0,0)处的切线方程为______.(12)曲线21yx，直线2x及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积______.(13)设二次型123(,,)TfXXXxAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下xQy的标准型为______.(14)设二维随机变量(,)XY服从22(,;,;0)N，则2()EXY______.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限012sin1limln(1)xxxxx.(16)(本题满分10分)已知函数(,)fuv具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f是(,)fuv的极值，(),(,)zfxyfxy。求2(1,1)|zxy.(17)(本题满分10分)求arcsinlnxxdxx(18)(本题满分10分)证明44arctan303xx恰有2实根。(19)(本题满分10分)()fx在0,1有连续的导数，(0)1f，且'()()ttDDfxydxdyftdxdy，{(,)|0,0,0}(01)tDxyxtytxytt，求()fx的表达式。(20)(本题满分11分)设3维向量组11,0,1T（），20,1,1T（），31,3,5T（）不能由11,,1Ta（），21,2,3T（），31,3,5T（）线性标出。求：(Ⅰ)求a；(Ⅱ)将1，2，3由1，2，3线性表出.(21)(本题满分11分)已知A为三阶实矩阵，()2RA，且111100001111A，求：(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求A(22)(本题满分11分)已知X，Y的概率分布如下：X01Y-101P1/32/3P1/31/31/3且22P()1XY，求：(Ⅰ)()XY，的分布；(Ⅱ)ZXY的分布；(Ⅲ)XY.(23)(本题满分11分)设(,)XY在G上服从均匀分布，G由0xy，2xy与0y围成。求：(Ⅰ)边缘密度()Xfx；(Ⅱ)|(|)XYfxy。2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)若011lim()1xxaexx，则a等于（A）0（B）1（C）2（D）3(2)设1y，2y是一阶线性非齐次微分方程'()()ypxyqxx的两个特解，若常数，u使12yuy是该方程的解，12yuy是该方程对应的齐次方程的解，则（）（A）1122，（B）1122，（C）2133，（D）2233，(3)设函数()fx,()gx具有二阶导数，且()0gx。若0()=gxa是()gx的极值，则()fgx在0x取极大值的一个充分条件是（）（A）'()0fa（B）'()0fa（C）()0fa（D）()0fa(4)设10()lnfxx，()gxx,10()xhxe,则当x充分大时有（）（A）()()()gxhxfx（B）()()()hxgxfx（C）()()()fxgxhx（D）()()()gxfxhx(5)设向量组Ⅰ：12r，，可由向量组Ⅱ：12s，，线性表示，下列命题正确的是（A）若向量组Ⅰ线性无关，则rs（B）若向量组Ⅰ线性相关，则rs（C）若向量组Ⅱ线性无关，则rs（D）若向量组Ⅱ线性相关，则rs(6)设A为4阶实对称矩阵，且20AA,若A的秩为3