2014届高三数学一轮复习专讲：2.1函数及其表示

第二章函数、导数及其应用一、函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个设A、B是两个对应关系f：A→B如果按照某个对应关系f，对于集合A中一个数x，在集合B中都存在的数f(x)与之对应两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有的一个元素y与它对应名称称为定义在集合A上的函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B非空数集非空集合任何唯一确定唯一f：A→Bf：A→B二、函数的有关概念1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．函数的三要素：、和．x的取值范围A函数值的集合{f(x)|x∈A}定义域值域对应关系三、函数的表示方法表示函数的常用方法有：、和．四、分段函数在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着对应关系，那么这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．解析法图像法列表法不同的并集并集[小题能否全取]1．下列各组函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|与g(x)＝3x3C．f(x)＝x|x|与g(x)＝x2，x＞0－x2，x＜0D．f(x)＝x2－1x－1与g(t)＝t＋1(t≠1)解析：A中定义域不同，B中对应关系不同，C中定义域不同．答案：D2．(教材习题改编)设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：x123f312g321则f(g(3))等于()A．1B．2C．3D．不存在解析：f(g(3))＝f(1)＝3.答案：C3．(2012·江西高考)设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f(f(3))＝()A.15B．3C.23D.139答案：f(3)＝23，f(f(3))＝232＋1＝139.答案：D4．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是()A．f：x→y＝18xB．f：x→y＝14xC．f：x→y＝12xD．f：x→y＝x解析：按照对应关系f：x→y＝x，对A中某些元素(如x＝8)，B中不存在元素与之对应．答案：D5．给出下列四个命题，正确的有()①函数是定义域到值域的对应关系；②f(x)＝x－4＋1－x是函数；③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图像是一条直线．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由函数的定义知①正确，②错误．因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确．因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图像是一些离散的点，故④错误．答案：B1.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y＝sinx与y＝cosx，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．[例1]有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1，x≥0，－1，x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；[自主解答]对于(1)，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，而函数g(x)＝1，x≥0，－1，x0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)，(3)．[答案](2)(3)两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．1．下列对应关系是集合P上的函数的是________．(1)P＝Z，Q＝N＋，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．解析：由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，(3)中集合P不是数集，因此(1)(3)中的对应不是p上的函数；(2)中集合P中任一元素在集合Q中都有唯一元素与之对应，因此，该对应关系是集合P上的函数．答案：(2)[例2](1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．[自主解答](1)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．(2)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1(x1)．(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x(x∈R)．函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(如以题试法2(1))．2．(1)若f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)．(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．解：(1)2f(x)＋f1x＝3x，①将①中x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.②①×2－②得3f(x)＝6x－3x，∴f(x)＝2x－1x.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.[例3](2012·广州调研考试)设函数f(x)＝2－x，x∈－∞，1，x2，x∈[1，＋∞，若f(x)4，则x的取值范围是______．[自主解答]当x1时，由f(x)4，得2－x4，即x－2；当x≥1时，由f(x)4得x24，所以x2或x－2，由于x≥1，所以x2.综上可得x－2或x2.[答案](－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f(f(－2))的值．解：∵f(－2)＝22＝4.∴f(f(－2))＝f(4)＝16.求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3．(2012·无锡模拟)设函数f(x)＝－12x－1，x∈－∞，1]log2x－1，x∈1，＋∞若f(x)0，则x的取值范围是________．解析：当x≤1时，－12x－10，解得x－2；当x1时，log2(x－1)0，解得x2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)[典例](2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______．[解析]①当1－a＜1，即a＞0时，a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，计算得a＝－32(舍去)；②当1－a＞1，即a＜0时，a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－34，符合题意．综上所述，a＝－34.[答案]－34[题后悟道]解答本题利用了分类讨论思想，由于f(x)为分段函数，要表示f(1－a)和f(1＋a)的值，首先应对自变量1－a和1＋a的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出a的值．得出结果后，应注意检验．所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．针对训练(2013·杭州模拟)设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1解析：∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a＝1，a＝1；当a0时，f(a)＝－a＝1，a＝－1.∴a＝±1.答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知函数f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.答案：2解题训练要高效见“课时跟踪检测（四）”2．已知函数f(x)＝ax，x0，a－3x＋4a，x≥0，满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则a的取值范围是()A．(0,3)B．(1,3)C.0，14D．(－∞，3)解析：∵函数f(x)对任意x1≠x2都有fx1－fx2x1－x20成立，∴函数f(x)在R上为减函数，故0a1，a－30，a0≥a－3×0＋4a.∴0a≤14.答案：C3．(2012·汕头模拟)某工厂六年来生产某种