2014届高三数学一轮复习：三角函数图象和性质

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域[－1,1][－1,1]R单调性(k∈Z)上递增；(k∈－Z)上递减(k∈Z)上递增；(k∈Z)上递减(k∈Z)上递增[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]2,222kk32,222kk,22kk函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝(k∈Z)时，ymax＝1；x＝(k∈Z)时，ymin＝－1x＝(k∈Z)时，ymax＝1；x＝(k∈Z)时，ymin＝－1π2＋2kπ－π2＋2kπ2kππ＋2kπkπ2，0函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z)(kπ，0)π2＋kπ，0函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称轴方程(k∈Z)(k∈Z)周期2π2ππx＝π2＋kπx＝kπ[小题能否全取]1．函数y＝tanπ4－x的定义域是()A.xx≠π4，x∈RB.xx≠－π4，x∈RC.xx≠kπ－3π4，k∈Z，x∈RD.xx≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R解析：∵x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋3π4，k∈Z.答案：D2．(2012·惠州模拟)y＝(sinx＋cosx)2－1是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数解析：y＝(sinx＋cosx)2－1＝sin2x.T＝2π2＝π.∴y＝(sinx＋cosx)2－1是最小正周期为π的奇函数．答案：C3．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π解析：作出函数y＝|sinx|的图象观察可知，函数y＝|sinx|在π，3π2上递增．答案：C4．比较大小，sin－π18________sin－π10.解析：因为y＝sinx在－π2，0上为增函数且－π18－π10，故sin－π18sin－π10.答案：5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋π4的最大值为________．此时x＝________.解析：当cosx＋π4＝－1时，函数y＝2－3cosx＋π4取得最大值5，此时x＋π4＝π＋2kπ，从而x＝34π＋2kπ，k∈Z.答案：534π＋2kπ，k∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y＝sinωx－π4；(2)y＝sinπ4－ωx.2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．[例1](1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．A．[－1,1]B.－54，－1C.－54，1D.－1，54(2)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()[自主解答](1)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.(2)y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－12及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈－54，1.[答案](1)x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z(2)C若本例(2)中x∈0，π2，试求其值域．解：令t＝sinx，则t∈[0,1]．∴y＝t2＋t－1＝t＋122－54.∴y∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．1．(1)函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()A.－32，32B.－32，3C.－332，332D.－332，3解析：(1)要使函数有意义则2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.利用数轴可得函数的定义域是x0xπ2，或π≤x≤4.(2)当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，即此时函数f(x)的值域是－32，3.答案：(1)x0xπ2，或π≤x≤4(2)B[例2](2012·华南师大附中模拟)已知函数y＝sinπ3－2x，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答]由y＝sinπ3－2x可化为y＝－sin2x－π3.(1)周期T＝2πω＝2π2＝π.(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以x∈R时，y＝sinπ3－2x的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.从而x∈[－π，0]时，y＝sinπ3－2x的减区间为－π，－7π12，－π12，0.求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．(2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A0，ω0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－π2＋2kπ≤ωx－φ≤π2＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由π2＋2kπ≤ωx－φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．(3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．2．(1)函数y＝|tanx|的增区间为________．(2)已知函数f(x)＝sinx＋3cosx，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bacD．bca解析：(1)作出y＝|tanx|的图象，观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z.答案：(1)kπ，kπ＋π2，k∈Z(2)B(2)f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，因为函数f(x)在0，π6上单调递增，所以fπ7fπ6，而c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3＝f(0)fπ7，所以cab.[例3](2013·温州调研)已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称；④函数f(x)在区间0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[自主解答]函数f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝π4对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.[答案]C1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变形，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图像做判断．2．求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)利用图象．3．三角函数的对称性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．3．(1)函数y＝2sin2x＋π2是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：y＝2sin2x＋π2＝2cos2x.∴T＝2π2＝π，且为偶函数．答案：B(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为________．解析：f5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.答案：32含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1]已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，则ω的值为________．[解析]由题意，得kπ＋7π12－kπ－5π12＝π，即函数f(x)的周期为π，则ω＝2.[答案]2[题后悟道]解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f(x)在kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)”，二者是不相同的．针对训练1．(2013·荆州模拟)若函数y＝2cosωx在区间0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()A．2B.12C．3D.13解析：由y＝2cosωx在0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有