《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.2.2半角的正弦、

3.2.23.2.2半角的正弦、余弦和正切【学习要求】1．了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．【学法指导】1．已知角α的某三角函数，用半角公式可求α2的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角三角函数公式求出该角的余弦值，再用半角公式求解．填一填练一练研一研本课时栏目开关3.2.22．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号.填一填练一练研一研本课时栏目开关3.2.2填一填·知识要点、记下疑难点1．半角公式：(1)S：sinα2＝；(2)C：cosα2＝；(3)T：tanα2＝(无理形式)＝＝(有理形式)．±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosαsinα1＋cosα1－cosαsinα2a2a2a填一填练一练研一研本课时栏目开关3.2.2填一填·知识要点、记下疑难点2．半角公式变形：(1)sin2α2＝；(2)cos2α2＝；(3)tan2α2＝.1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2探究点一半角公式的推导与应用问题1试用cosα表示sinα2、cosα2、tanα2.答∵cosα＝cos2α2－sin2α2＝1－2sin2α2，∴2sin2α2＝1－cosα，∴sin2α2＝1－cosα2，∴sinα2＝±1－cosα2；∵cosα＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cosα2，∴cosα2＝±1＋cosα2；填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2∵tan2α2＝sin2α2cos2α2＝1－cosα21＋cosα2＝1－cosα1＋cosα，∴tanα2＝±1－cosα1＋cosα.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2问题2证明tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.答∵sinα1＋cosα＝2sinα2cosα22cos2α2＝tanα2，∴tanα2＝sinα1＋cosα，同理可证tanα2＝1－cosαsinα.∴tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2探究点二半角公式的符号选择问题已知角α所在的象限，如何确定角α2所在的区域(试用图中序号来表示)?(1)若α为第一象限角，则α2的终边落在区域；(2)若α为第二象限角，则α2的终边落在区域；(3)若α为第三象限角，则α2的终边落在区域；(4)若α为第四象限角，则α2的终边落在区域.①⑤②⑥③⑦④⑧填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2探究点三如何用tanα2表示sinα，cosα，tanα问题设tanα2＝t，t∈R，试用含t的代数式表示sinα，cosα，tanα.解sinα＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2t1＋t2；cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－t21＋t2；tanα＝sinαcosα＝2tanα21－tan2α2＝2t1－t2.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2[典型例题]例1求值：(1)sinπ12；(2)cos22°30′；(3)tan67°30′.解(1)sinπ12＝1－cosπ62＝1－322＝2－32＝8－434＝6－224＝6－24.(2)cos22°30′＝1＋cos45°2＝1＋222＝2＋22.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2(3)tan67°30′＝1－cos135°1＋cos135°＝1－－221＋－22＝2＋22－2＝2＋222－22＋2＝2＋22＝2＋1.小结若θ为特殊角，求θ2的三角函数值时，常选用半角公式的无理形式求值．求值时，注意把二次根式化成最简形式，能开方的要开方．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2跟踪训练1求值：(1)sinπ8；(2)cos15°；(3)cotπ8－tanπ8.解(1)sinπ8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22.(2)cos15°＝1＋cos30°2＝1＋322＝2＋32＝8＋434＝6＋224＝6＋24.(3)cotπ8－tanπ8＝1＋cosπ4sinπ4－1－cosπ4sinπ4＝2cosπ4sinπ4＝222＝2.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2例2已知cosα＝13，α为第四象限角，求sinα2、cosα2、tanα2.解sinα2＝±1－cosα2＝±1－132＝±33，cosα2＝±1＋cosα2＝±1＋132＝±63.tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时，sinα2＝33，cosα2＝－63，tanα2＝－22；当α2为第四象限角时，sinα2＝－33，cosα2＝63，tanα2＝－22.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2小结在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tanθ2，还要注意运用公式tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝1－cosθsinθ来求值．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2跟踪训练2已知cosθ＝－35，且180°θ270°，求tanθ2.解∵180°θ270°，∴90°θ2135°，∴tanθ20，∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－－351＋－35＝－2.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2例3证明：sin2x2cosx1＋tanxtanx2＝tanx.证明方法一左边＝2sinxcosx2cosx1＋sinxcosx×1－cosxsinx＝sinx1＋1－cosxcosx＝sinxcosx＝tanx＝右边．方法二左边＝sin2x2cosx×tanx－tanx2tanx－x2＝2sinxcosx2cosx·sinx2cosxcosx2·tanx2＝sinxcosx＝tanx＝右边．故原等式成立．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2小结“切化弦”是三角恒等变换中常用的方法之一．证明三角恒等式或化简三角函数式时，常常要进行函数名的统一或角的统一．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2跟踪训练3求证：cos2x1tanα2－tanα2＝14sin2α.证明方法一左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.2.2方法二左边＝cos2α1＋cosαsinα－1－cosαsinα＝cos2α2cosαsinα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原式成立.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.21．tan22.5°的值为()A.3－1B.3－12C.2－12D.2－1解析tan22.5°＝1－cos45°sin45°＝1－2222＝2－1.D填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.22．已知πθ3π2，则12＋1212＋12cosθ等于()A．sinθ4B．cosθ4C．－sinθ4D．－cosθ4解析∵πθ3π2，∴π2θ23π4，π4θ43π8，∴cosθ20，sinθ40，原式＝12＋12cos2θ2＝12－12cosθ2＝sin2θ4＝sinθ4＝sinθ4.A填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.23．已知sinα＝－45，πα3π2，求sinα2，cosα2，tanα2.解∵πα3π2，∴π2α23π4.又∵sinα＝－45，∴cosα＝－35.则sinα2＝1－cosα2＝1－－352＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－1－352＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.(另解：tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα＝－2)填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.21．半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2所在象限确定；(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：αα2sinα2cosα2tanα2第一象限第一、三象限＋、－＋、－＋第二象限第一、三象限＋、－＋、－＋第三象限第二、四象限＋、－－、＋－第四象限第二、四象限＋、－－、＋－填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.2.22．半角公式的三个变式：cos2α2＝1＋cosα2，sin2α2＝1－cosα2，tan2α2＝1－cosα1＋cosα.在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到.填一填练一练研一研本课时栏目开关