《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.3.2向量数量积的

2.3.22.3.2向量数量积的运算律【学习要求】1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．【学法指导】引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的．向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝0或b＝0；a·b＝b·ca＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立.填一填练一练研一研本课时栏目开关2.3.2填一填·知识要点、记下疑难点1．向量的数量积(内积)叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝．叫做向量a在b方向上的射影，叫做向量b在a方向上的射影．2．向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝；(2)a⊥b⇒a·b＝且a·b＝⇒a⊥b；(3)a·a＝或|a|＝；|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉|a|cosθ|b|cosθ|a|cos〈a，b〉00|a|2a2填一填练一练研一研本课时栏目开关2.3.2填一填·知识要点、记下疑难点(4)cos〈a，b〉＝；(5)|a·b||a||b|.3．向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(结合律)；(3)(a＋b)·c＝(分配律).a·b|a||b|≤b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2探究点一向量数量积运算律的提出问题1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba结合律(ab)c＝a(bc)分配律(a＋b)c＝ac＋bc消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·a(a·b)c＝a(b·c)(a＋b)·c＝a·c＋b·ca·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c正确错误正确错误填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2问题2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明．答(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示．显然a·b＝b·c，且a≠c.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2探究点二向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．问题1证明a·b＝b·a.答a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，∴a·b＝b·a.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2问题2证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(提示：分λ＝0，λ0，λ0三种情况讨论)答当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.当λ0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，a·λb＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉；∵λ0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2当λ0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，∵λ0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2问题3下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请你补充完整．证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝；图(1)向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝，向量b在向量c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.所以＋＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉．0OA1OB1|a|cos〈a，c〉|b|cos〈b，c〉填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2两边乘以|c|得：＋＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝；图(2)向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝，∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴＝＋，|a||c|cos〈a，c〉|b||c|cos〈b，c〉OC1OA1OB1OC1OA1OB1填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2∴＝＋．两边同乘以|c|得：|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.图(3)当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.|a＋b|cos〈a＋b，c〉|a|cos〈a，c〉|b|cos〈b，c〉填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2探究点三平面向量数量积的运算性质实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2表中的结论可以用作公式使用：例如，若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析方法一由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向．∴有a·b＋b·c＋c·a＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°＝3－4－12＝－13.方法二∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，∴a·b＋b·c＋c·a＝a＋b＋c2－a2＋b2＋c22＝0－32＋12＋422＝－13.－13填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2[典型例题]例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．小结向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．④填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b||a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．解析根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b||a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.①③④填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2例2已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.小结熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键．计算形如(ma＋nb)·(pa＋qb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2跟踪训练2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|3a－4b|.解(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos120°－3×4＝0.(2)|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，∴|3a－4b|＝419.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2例3已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．解a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±34.当k＝±34时，a＋kb与a－kb互相垂直．小结向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b0且a与b不反向共线：a与b垂直的等价条件是a·b＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.3.2跟踪训练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？解∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k0，∴k0，但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k0且k≠1.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.3.21．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为()A．2B．23C．6D．12解析∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12，∴|a－4b|＝23.B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检