有限元复习题及答案

1.两种平面问题的基本概念和基本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。平面问题的基本方程为：平衡方程几何方程物理方程（弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到）平面应力问题的物理方程平面应力问题有平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。2弹性力学中的基本物理量和基本方程；答：基本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。基本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：错误!未找到引用源。边界条件：错误!未找到引用源。2.几何方程及位移边界条件：几何方程：错误!未找到引用源。边界条件：错误!未找到引用源。3.物理方程:错误!未找到引用源。3.有限元中使用的虚功方程。对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移错误!未找到引用源。,相应的虚应变为错误!未找到引用源。,作用在微元体上的平衡力系有（X,Y,Z）和面力错误!未找到引用源。。外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中错误!未找到引用源。为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。（自己写的，没找到答案）答：节点位移：坐标系中各个单元节点在各自的自由度上产生的移动。单元位移：反应单元内个点的位移量的函数表达。关系：单元位移可由节点位移差值构造，即通过节点位移构造单元位移函数，从而反应单元内个点的位移。5.单元位移函数的概念与性质答：由弹性力学知，如果弹性体的位移分量是坐标的己知函数，就可由几何方程求得应变分量，再由弹性方程求得应力分量。但是，如果仅知道弹性体(或单元)中几个点(例如节点)的位移分量的数值，是不能直接求得其应变分量和应力分量的。为了能用节点位移分量表示单元上的应变、应力等，首先就必须把单元上任一点的位移分量表示为坐标的某种函数。当然，这些函数在上述几个节点上的数值，应当等于其己知值。这种做法，实际上是假定单元上各点按某种模式变形，各点的位移值则是由己知点(节点)按这种模式插值取得。采用的函数称为位移函数或位移模式。（对于一个复杂的弹性体，想要用某种连续函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近似地表达为其坐标函数的，这一表达式就是单元位移模式或者叫单元位移函数。）性质：1.在单元节点上的形态函数的值为1或者02.在单元中的任一点上，三个形态函数之和等于1.用来计算三角形面积时，要注意单元节点的排列顺序，当三个节点i，j，m取逆时针顺序时，A0，反之小于0.6.节点力、等效节点力节点力：通过节点来传递的力。利用虚功方程建立刚度方程，把作用在每个单元上的载荷都移置到各节点之后，各单元所受的力就只有通过节点传递的节点力。节点力在节点的的虚位移上所做的虚功等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功。等效节点力：按照有限元法的离散思想，外载荷必须作用在节点上，而实际的外载荷由往往并不是通过节点作用的。因此，必须将这些非节点载荷按照一定的原则移置到节点上，即所谓的等效节点载荷处理。这种移置必须满足静力等效原则，因为只有这样才能使得这种移置所引起的误差只局限于局部，而不至于影响整体结构的应力状态（圣文南原理）。通常对刚体而言的静力等效是指移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一轴的力矩之和也彼此相等。但是对于具有三个或者三个以上节点的弹性体单元，若按刚体静力等效原则来移置载荷，其结果不是唯一的。在有限元法中，是按虚功等效的原则来移置，即移置前的原载荷与移置后的节点载荷在任意虚位移上的虚功相等。在一定的位移函数下，这样移置的结果是唯一的。7.如何由单元节点位移导出单元位移函数、单元应变、单元应力和，如何建立单元节点位移和单元节点力之间的关系。结点位移内部各点位移应变应力结点力(1)单元分析(4)(3)(2)yaxaavyaxaau654321654321aaaaaayx1000000yx1vufjmmjiyxyxamjiyybjmixxcmiimjyxyxaimjyybmijxxcijjimyxyxajimyybijmxxc)ycxba(A21NiiiimmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000mjimjiNNNNNN000000N用结点位移表示单元的应变的表达式为mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbcc0c0c00b0b0bA21xvyuyvxue}]{B[}{mjiBBBB单元的虚位移可以用结点的虚位移表示为e*eNf**][由物理方程，可以得到单元的应力表达式为应力矩阵eBDDBDSmjiSSSSdxdydzσεFδT*T*tdxdyFT*eTe*TTe*Te*T*[B]δ)δB(εtdxdy]B[FTTe*eTe*tdxdyσ[B]FTe对于平面应力情况下对于平面应力情况下对于平面应变对于平面应变2100010112ED)1(22100011011)21)(1()1(ED将应力用结点位移表示出有令则eδBDσeTeδy[D][B]tdxd[B]Fy[D][B]tdxd[B]KTeeeeδKF8.单元刚度矩阵的物理意义性质物理意义：单位节点的位移分量所引起的节点力。例如：kmn是表示当单元第n个自由度产生单位位移而其他自由度固定时，在第m个自由度产生的节点力。（具体参数在PPT上，没打出来）表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如表示结点j在垂直方向产生单位位移时，在结点i所需要施加的水平结点力的大小。性质：（1）、[k]e是对称阵。其元素之间有如下关系：krs=ksr，这一特性是由弹性力学中的功的互等定理所决定的。（2）、[k]e是奇异阵。[k]e的每一行每一列元素之和均为0，其物理意义就是：在无约束条件下，单元可做刚体运动。根据行列式性质，可知值也为0。9.整体刚度矩阵的物理意义性质物理意义：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。性质：（1）、总刚度矩阵是对称矩阵。（2）、总刚度矩阵呈稀疏带状分布。因为任一节点只与绕它的相邻单元发生联系，所以[k]中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在对角线主元素的附近。（3）、总刚度矩阵式奇异阵。10.有限元的基本原理及解题过程；基本原理：有限元法是将连续体理想化成为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。由于有限元单元的分割和节点的配置非常灵活，它可以适用于任意复杂的几何形状，处理不同的边界条件。在有限元单元集合体的基础上，对每一单元假设一个简单的位移函数来近似模拟其位移分布规律，通过虚位移原理求得每个单元的平衡方程，即建立起单元节点力和节点位移之间的关系。最后把所有的单元的这种特性关系集合起来，就可建立整个物体的平衡方程组。考虑边界条件后，解此方程组求得节点位移，并计算出各单元应力。解题过程：（1）、首先绘出结构集合简图，在此基础上将结构离散化。包括划分单元跟等效节点载荷。（2）、其次进行单元分析。计算每个单元的刚度矩阵。根据各单元所受载荷，利用载荷移置公式，得到每个单元的等效节点力载荷。（3）、组装总刚度矩阵，组集结构节点载荷矩阵，引入约束条件，解线性方程组，即可求得包括已知节点位移分量在内的全部节点位移。（4）、最终求得单元应力和节点应力。整理计算结果并绘制出结构变形图及各种应力分量的等值曲线图。11.等参元的概念及单元分析过程；首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元12.轴对称三节点三角形单元、四节点四面体单元、8节点六面体单元的形函数、自由度。答：1、轴对称三节点三角形单元的自由度为6。其形函数为：其中错误!未找到引用源。2、四节点四面体单元自由度为12。其形函数为：其中错误!未找到引用源。3、8节点六面体单元自由度为24。其形函数为：其中错误!未找到引用源。式中错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。——单元节点i的坐标。14.杆单元与梁单元的区别。答：按照力学理论，有些杆件可以简化为只能承受轴向力的杆，有些杆件可以简化为既能承受轴向力又能承受弯矩的梁。在有限元方法中，将模拟杆的单元称为杆单元，将模拟梁的单元称为梁单元。所以它们的区别就是能否承受弯矩。15.杆单元与梁单元的刚度矩阵推导。16.弹性力学薄板问题的基本假设，基本物理量和基本方程。答：基本假设：（1）、变形前垂直于中面的直法线在变形后仍是弹性曲面的法线。（2）、板的中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即无平行于中面的变形。（3）、忽略沿厚度方向的挤压变形。即z方向上应力应变均为0。基本物理量及基本方程：（1）位移：错误!未找到引用源。（2）应变：错误!未找到引用源。（3）应力：错误!未找到引用源。（4）内力矩：错误!未找到引用源。17.四节点薄板单元（矩形单元）的自由度。答：矩形板单元有四个角节点，每个节点有三个参数：挠度，以及绕x、y轴的转角，所以总共有12个自由度。18.为什么要引入等参单元的局部坐标系？有什么特点和好处？答：以四节点单元为例，在建立位移模式时出现一个新问题：如果直接用x，y坐标系下的双线性位移模式，由于任意四边形单元的边界与坐标轴不平行，因此位移沿边界呈二次函数变化，单元在公共边界上不满足协调性。因此须建立一种新的局部坐标系ξ-η坐标系，使得4条边上有一个局部坐标为常数（±1），即所谓的局部坐标系。特点和好处：单元内，所有点的坐标ξ、η均在-1到+1之