边界层理论基础-卡门积分式

虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略，但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略，否则会带来很大的误差，这是何故？如水和空气，其粘度都很小，在处理其高速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获得令人满意的解答。第五章边界层理论该学说成为流体力学中最重要的学说之一，也是传递过程领域中的重要学说，因为在传热和传质中也存在相应的边界层。第一节边界层概念1904年Plandt提出边界层的概念。当实际流体沿固体壁面流动时，只要流体能润湿壁面，则紧贴壁面的一层极薄的流体，将附着在壁面上不滑脱，即该层流体的速度为零。可以推知，在壁面附近，必然存在这样一层流体，其与流向垂直的方向上的速度梯度很大，所以在这层流体中，绝对不能忽略粘滞力的作用，这样一层流体就称为边界层。边界层厚度是与Re数值相关的。Re越大，厚度愈薄。在边界层之外的区域可忽略粘性力的作用，视为理想流体。这种将流体流过物体壁面的问题分成两部分处理的办法，已被证明在流体力学领域具有十分重要的意义。边界层的形成x平板壁面上边界层的形成uxxcδ层流边界层过渡区湍流边界层层流内层y如图，一流速均匀为u0的流体流近平板壁面前缘时，因粘滞力作用，毗邻壁面的流体停滞下来，速度为零，从而在垂直于流动方向上建立起速度梯度，并使靠近壁面的层流流体速度减慢，开始形成边界层。随着流体向前移动，边界层厚度增加，即更多流体层速度被减慢，最后构成一稳定的边界层。随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化，在边界层厚度较小处，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层流体内，仍然维持层流，称为层流内层。临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈粗糙xc愈短。总之，边界层由层流转变为湍流的地点取决于如下的临界Re数值：0ccexxuR对于光滑的平板壁面，转变区域的Re为：56210310cexR常取cexR为5210为转变点。当一流速为u0的流体流经一圆管时，则在圆管固壁形成边界层，且逐渐加厚，有可能最终占住整个截面，也可能只占一部分便进入边界层外，即边界层厚度要由Re数来决定。beDuRU0边界层充分发展的流动层流内层湍流核心Re仅适用于表达充分发展了的层流或湍流情况下的流体的流型。即使是湍流边界层，靠近管壁极薄的一层流体中，仍维持层流内层，其外为缓冲层，再外才是湍流中心。5－2边界层厚度的定义平壁上的流体流动，流体速度由板面处的零增加到边界层外缘处的u0值，需经过很长的y方向上的距离，（理论上是这样），但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：(1)取ux达到u0的99％时的y值，即00.99xuu处，y的值即为边界层厚度。(2)可假设一个表示边界层内速度分布的公式，如抛物线方程，计算当ux达到u0时的y值，即为边界层厚度。第二节曳力系数曳力系数与范宁摩擦系数流体流过壁面，就流体而言，受到壁面的阻力流体流过壁面，就壁面而言，受到流体的曳力曳力和阻力方向相反，互为作用力和反作用力的关系，所以曳力系数与阻力系数的数值相等。曳力系数表达式为：'202dDFCuD'dF曳力D圆柱体直径u0物体的速度流体在圆管中所受到的阻力，习惯上采用范宁摩擦系数f来表示，f的定义式为：22sbfus管壁处的剪应力Ub平均速度第三节边界层方程普兰德边界层方程将不可压缩流体的N－S方程应于层流边界层时，如前述方程中的若干相可以忽略不计，对于二维稳态层流，x,y方向上的分量可写成：22221xxxxxyuuuupuuxyxxy22221yyyyxyuuuupuuxyyxy连续性方程为：此时边界层厚度的定义为：壁面到处的边界流体的厚度。0yxuuxy00.99xuuxxδδu0u0uxux普兰德首先发现，即边界层厚度在大多数情况下均很小，以x为基准，根据数量级的概念对上述三方程进行化简与x数量级相等的记为O(1)与δ数量级相等的记为O(δ)x0(1)xu0y01xux01yuy2201xux0yu10xuy0yux22210xuy220yux经过上述讨论方程可得知:x方向(1)(δ)(1/δ)(δ2)(1)(1/δ2)22221xxxxxyuuuupuuxyxxyy方向(1)(δ)(δ)(1)(δ2)(δ)(1/δ)由上述两式的数量级分析可知，x方向各项数量级为1，而y方向各项数量级为δ。因δ1，故y方向可忽略不记，于是可得普兰德边界层方程：22221yyyyxyuuuupuuxyyxy2210xxxxyyxuuudpuuxydxyuuxy求解上述二方程即可求出边界层内的速度分布和压力分布。边界条件：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且当Re数较大（δ较小）之时。此方程虽大大化简，但仍为非线性，很难求解。00,0,0,xyxyuuyuu边界层积分动量方程卡门（Vonk′arman）避开N－S方程，而直接对边界层进行动量衡算，导出边界层积分动量方程。对二维不可压缩稳态流动有：该式称为卡门边界层积分动量方程。显然，该方程必须先假设一个速度分布函数，代入后才能求解，因此它只能算一个近似解。00xxsduuudydxxxuuy卡门边界层方程即适用于层流，也适用于湍流。例：流体沿平板壁面流动时层流边界层的计算，主要目标是边界层厚度和曳力子数的计算大量观察和测量得知ux与y的关系与抛物线近似，因此可假设：a,b,c,d待定边界条件：23xuabycydy220022000002600xxxyyxxyyuadududydyuducdycudy处常数由于壁面处00xxxyduuuudy即在边界层外缘，，且值维持恒定230xuuabcd即30ubd由此获得的层流边界层的速度分布方程：将上式代入卡门积分中的积分项变为：于是有：020332302xyubdubdudyd302123yyuux200028039udyuuuxxsdxdu2028039根据定义：可得：将的表达式代入积分得：表明：δ随x的平方根而增厚写。成无因次群得：0yxsdydu023us064.4ux21Re64.4xx0Rexux前以述及光滑平板壁面边界层流转变成湍流的临界值为2×105～3×106如果将其转换为以边界层厚度δ表示的Re数则可得：当时这与圆管内的临界雷诺数相近。cxRe210Re64.4Rexxu5103Rex2540Rec现在可以计算层流边界层中壁面处的局部剪应力τs和相应的曳力子数了。求取x处的剪应力，计算长度为L，宽度为b的平板壁面上的曳力和曳力子数表达式为：5-7管道进口段的流体流动（省略）2120Re323.0Lsxu30646.0LubFd21Re292.1LDCLuL0Re第五节：边界层分离边界层分离：在某些情况下，边界层内的流体会发生倒流，引起边界层与固体壁面的分离现象。同时产生旋涡，其结果是造成流体的能量损失（形体阻力），此种现象称为边界层分离。在推倒边界层方程时，由数量级分析可知，y方向上的压力分布均匀不变，其剃度可忽略（）所以，边界层内压力与理想流体的压力接近。0yp在势流的计算中，已经得知，流场中，流体的流动可认为是一束流线组成。对正对着圆柱体的那根流线来考察，愈靠近柱体处速度越小，压力越大，当其达到柱体A处速度为零，压力最大，A点称为停滞点，此时流体被迫改变原流线方向，绕过柱体的两侧继续向下游流去，停滞点又称为奇点（不连续点）。BP分离点倒流UxUxUxUxdUx/dy=0当理想流体变为粘性流体时，柱体的前半部流线图形与理想流体相类似，但后半部流线图形将大为改观。由于边界层的产生，将会使壁面的流动发生根本性的变化。在B点之前，主体流线处于越来越快的状态，即流体处于加速减压的情况，所以边界层内的流体也必处于加速减压之下，即0dxdp0dxdp在减少的压力中一部分转变为动能，另一部分用于克服剪应力。但过了B点，流动性减慢，压力逐渐增加，主体和边界层流体均处于减速加压状态，，称为逆向压力梯度。由于剪应力和逆向压力梯度的双重作用，流体流速逐渐变小，当壁面流体达到P点时，重力能消耗殆尽，形成一个新的停滞点，此时压力较上游压力大，而速度为零。因流体不可压缩，后续流体质点到达P点时在较高压力的作用下，即被迫离开壁面和原流线方向，将自己的部分静压能转变为动能，脱离壁面，而循另一条新流线方向向下游流去，此种边界层脱离壁面的现象即称为边界层分离，P点称分离点。而在P点的下游，由于形成了流体的空白区，所以在逆向压力梯度的作用下必有倒流的流体来补充，但补充的流体因P点的压力高而不能到达P点就被迫退回，这就产生了旋涡，因此，在回流与主流之间，必存在一个分界面，称为分离面。