初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第28讲-避免漏解的奥秘

1第二十八讲避免漏解的奥秘“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．【例题求解】【例1】四条线段的长分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为．思路点拨AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x，又CD长不定，所以应就AB、CD的取值作全面讨论．注：初中数学常见的分类方法有：(1)按定义、性质、法则、公式分类；(2)对参数分类；(3)按图形位置分类；(4)按图形特征分类；(5)按余数分类．注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．【例2】方程1)1(32xxx的所有整数解的个数是()A．2B．3C．4D．5思路点拨这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)1的偶次幂等于1．2【例3】试确定一切有理数r，使得关于x的方程023)2(2rxrrx有根且只有整数根．思路点拨根据方程定义，r是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以，应对r=0及r≠0两种情况分类求解．【例4】已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A、B不重合)．过点M作MN∥BC，交AC于点N．设MN=x．(1)用x表示△AMN的面积S△AMN；(2)用△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内)，设点A落在平面BCNM内的点为A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．①试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当x为何值时重叠部分的面积y最大，最大为多少?思路点拨折叠△AMN，A点位置不确定，可能在△ABC内或在BC边上或在△ABC外，故需按以上三种情况分别求出y关于x的函数关系式，进而求出y的最大值．注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．【例5】已知⊙Ol与⊙O2外切，⊙Ol的半径R=2，设⊙O2的半径是r．(1)如果⊙Ol与⊙O2的圆心距d=4，求r的值；(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r的值．思路点拨题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：3(1)由点的不确定定引起的分类讨论；(2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论；(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．学力训练1．已知m为实数，如果函数62)4(2mmxxmy的图象与x轴只有一个交点，那么m的取值为．2．若实数a、b满足0582aa，0582bb，则1111baab的值为．3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于．4．已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P直线交⊙O于A、B点，若PA·PB=4，OP=5，则⊙O的半径为．5．和抛物线11082xxy只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为()A．76xyB．1xC．76xy或1xD．1y6．若线段AB两端点到直线l的距离分别为4和8，则AB的中点到直线l的距离是()A．2B．4C．6D．2或67．点A(-4，0)，B(2，0)是xoy坐标平面上两定点，C是221xy的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC可以画出()A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的P点有()A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知关于x的方程022)13(22kkxkx．(1)求证：无论k是取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长6a，另两边长为b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．10．已知：如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式；（2）求四边形ABCD的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值（只需写出结果，不必写出解答过程）yxBOADEC(2,3)3-1-2411．以O为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm和5cm，⊙O′与这两个圆都相切，则⊙O′的半径是．12．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B的大小为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m6，以M为圆心，MC为半径作圆，那么当m=时，⊙M与直线AB相切．15．关于x的方程01)1(2xkkx有有理根，求整数是的值．16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；(3)若一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?17．如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．18．已知关于x的方程0)1(2pxqpx(q≥0)的两个实数根为，且≤．5(1)试用含有，的代数式表示p和q；(2)求证：≤1≤(3)若以，为坐标的点M(，)在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A(1，2)，B(21，1)，C(1，1)，问是否存在点M使p+q=45，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系)(tfP；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式)(tgQ．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102㎏，时间单位：天)6参考答案7