函数单调性与导数的关系

函数的单调性与导数的关系1.复习(1)求曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程.(2)求函数y=e-2xsin3x的导数(1)解:y′=3x2-6x,F′(1)=-3,所以曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线的斜率k=-3,切线的方程y+1=-3(x-1),(2)解:求函数y=e-2xsin3x的导数观察高台跳水函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的单调性与导数的关系.当ttA时,h′(t)0;当ttA,时h′(t)0;h(t)是增函数;h(t)是减函数;观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.f`(x)0,f(x)是增函数;f`(x)0,f(x)是减函数;结论:在某个区间(a,b)内,如果f`(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f`(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;例1已知导函数f`(x)的下列信息:当1x4时,f’(x)0;当x4或x1时,f`(x)0;当x=4或x=1时,f`(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.例2.求证：函数y=ax5-1(a0)在R上是增函数。例3判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=x2-2x-3;(3)f(x)=sinx-x,(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1),0(x解:(1)33)('2xxf)1(32x0∴f(x)=x3+3x在R上单调递增.(2)∵f(x)=x2-2x-322)('xxf;32)(,1,0)('2单调递增函数时即当xxxfxxf;32)(,1,0)('2单调递减函数时即当xxxfxxf因此,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).如图(3)f(x)=sinx-x,解:因为f(x)=sinx-x,),0(x),0(x1cos)('xxf所以0因此,函数f(x)=sinx-x在内),0(单调递减.(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1因为f(x)=2x3+3x2-24x+1所以)('xf━━━━━━━━━━━━━━━━━━6x2+6x-24=6(x2+x-4)12432)(,0)('23xxxxfxf函数时即当━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━12432)(,0)('23xxxxfxf函数时即当━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━21712171xx或单调递增21712171x单调递减因此,函数f(x)=2x3+3x2-24x+1的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;函数f(x)=2x3+3x2-24x+1的单调递减区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.),2171()2171,()2171,2171(图象如图所示练习1判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间.3.求证:函数f(x)=2x3-6X2+7在(0,2)内是减函数.;)(),1,(单调递减在区间xf