高中数学放缩法公式

“放缩法”证明不等式的基本策略1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.证明：由f(n)=nn414=1-1111422nn得f（1）+f（2）+…+f（n）n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、逐项放大或缩小例3、设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn证明：∵nnnn2)1(212)21()1(2nnnn∴212)1(nnnn∴2)12(31321nann，∴2)1(2)1(2nannn本题利用21(1)2nnnn，对na中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。4、固定一部分项，放缩另外的项；例4、求证：2222111171234n证明：21111(1)1nnnnn2222211111111151171()().1232231424nnnn此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。5、函数放缩例5.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.解析:先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnn因为nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111nnnnn所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn6、裂项放缩例6求证:35112nkk.解析:因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk7、均值不等式放缩例7.设.)1(3221nnSn求证.2)1(2)1(2nSnnn解析:此数列的通项为.,,2,1,)1(nkkkak2121)1(kkkkkk，)21(11nknnkkSk，即.2)1(22)1(2)1(2nnnnSnnn注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2baab，若放成1)1(kkk则得2)1(2)3)(1()1(21nnnkSnkn，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里naanaaaaaannnnnn22111111其中，3,2n等的各式及其变式公式均可供选用。8、二项放缩nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,2222210nnCCCnnnn)2)(1(2nnnn